Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения y"-4y'+4y=0, y(0)=1, y'(0)=2

Answer 1

Ответ:

y = e²ˣ

Пошаговое объяснение:

составим характеристическое уравнение:

λ² - 4λ + 4 = 0

(λ-2)² = 0

λ = 2 - кратный корень

y = C₁e²ˣ + C₂xe²ˣ

y(0) = C₁ = 1

y'(x) = 2C₁e²ˣ + C₂e²ˣ + 2C₂xe²ˣ

y'(0) = 2C₁ + C₂ = 2 => C₂ = 0

y = e²ˣ

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, можно использовать характеристическое уравнение, которое связано с коэффициентами уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид:

r^2 - 4r + 4 = 0,

где r - неизвестная.

Чтобы решить это квадратное уравнение, используем квадратное уравнение r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2 = 0. Отсюда получаем двукратный корень r = 2.

Так как у нас есть кратный корень, частное решение можно представить в виде:

y_p(t) = (A + Bt) * e^(2t),

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Теперь найдем производные y_p'(t) и y_p''(t):

y_p'(t) = (A + Bt) * 2e^(2t) + Be^(2t) = (2A + (2A + B)t) * e^(2t),

y_p''(t) = (2A + (2A + B)t) * 2e^(2t) + (2A + B)e^(2t) = (4A + 2B + (2A + B)t) * e^(2t).

Теперь подставим y_p(t), y_p'(t) и y_p''(t) в исходное уравнение:

y_p''(t) - 4y_p'(t) + 4y_p(t) = (4A + 2B + (2A + B)t) * e^(2t) - 4(2A + (2A + B)t) * e^(2t) + 4(A + Bt) * e^(2t) = 0.

Упростим уравнение:

(4A + 2B + 2A + B - 8A - 4B + 4A + 4Bt) * e^(2t) = 0.

Теперь у нас есть уравнение, равное нулю. Это выполняется для любого t, если коэффициенты при e^(2t) равны нулю:

4A + 2B + 2A + B = 0, (1) 4A - 8A = 0, (2) 4B = 0. (3)

Из уравнения (2) получаем A = 0, а из уравнения (3) получаем B = 0. Теперь, используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 2, найдем A и B:

y(0) = (A + B * 0) * e^(2 * 0) = A = 1, y'(0) = (2A + B * 0) * e^(2 * 0) = 2A = 2.

Отсюда A = 1 и B = 2.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y"-4y'+4y=0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=2 равно:

y_p(t) = (1 + 2t) * e^(2t).