Question

1. Дана прямоугольная таблица 3×4, в одной из клеток которой стоит 0. Можно ли заполнить все пустые клетки цифрами из 2-х наборов от 0 до 9 так, чтобы суммы цифр на каждой из 3-х горизонталей были бы равны между собой, а суммы цифр на каждой из 4-х вертикалей были бы равны числу, большему 15? Если можно, то приведите пример расстановки чисел в данной таблице. Если нельзя, то почему?

Answer 1

0 8 9 3

9 1 5 5

6 6 1 7

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть условия, которые должны выполняться:

1. Суммы цифр на каждой из 3-х горизонталей должны быть равны между собой.
2. Суммы цифр на каждой из 4-х вертикалей должны быть равны числу, большему 15.

Рассмотрим условия второго пункта. Если сумма цифр в каждой вертикали должна быть больше 15, а всего в вертикали по 3 клетки, то как минимум, каждая клетка вертикали должна содержать число 5 или больше (при условии, что все числа неотрицательные).

Теперь рассмотрим условия первого пункта. Пусть в таблице все пустые клетки заполнены числами из второго набора (6, 7, 8, 9). Если суммы цифр на горизонталях должны быть равными между собой, то сумма чисел в каждой горизонтали должна быть 15 (поскольку 6+7+8+9 = 30, и если разделить на 2 горизонтали, получим 15).

Теперь рассмотрим все возможные комбинации, чтобы сумма чисел в каждой горизонтали была равна 15:

a. 9 + 6 = 15 8 + 7 = 15 0 + 5 = 5

b. 9 + 7 = 16 8 + 6 = 14 0 + 5 = 5

c. 9 + 8 = 17 7 + 6 = 13 0 + 5 = 5

d. 9 + 5 = 14 8 + 7 = 15 0 + 6 = 6

e. 9 + 6 = 15 8 + 5 = 13 0 + 7 = 7

f. 9 + 5 = 14 8 + 6 = 14 0 + 7 = 7

Как видно из вышеперечисленных комбинаций, невозможно достичь равенства сумм в каждой горизонтали и при этом удовлетворить условию, что все вертикали должны быть больше 15. Поэтому невозможно заполнить все пустые клетки данной таблицы так, чтобы выполнялись все условия задачи.