Question

Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i j k), образ и ядро оператора: проектирования на плоскость z = 0

Answer 1

Ответ:

Могу объяснить , как делать , может хоть как-то поможет.

При зеркальном отражении относительно o x z координата y любого вектора меняется на противоположную (по знаку) , а координаты x и z не меняются, то есть : f(x,y,z)=(x,−y,z)

далее :

Выпишите честно, что означает линейность f   и проверьте, что это условие выполняется. Столбцы матрицы этого оператора — это координаты векторов f(i) , f(j)  и f(k) в исходном базисе.

Что касается ядра и образа, подтвердите, что вы знаете определения и напишите.

Answer 2

Для доказательства линейности оператора и нахождения его матрицы в базисе i, j, k, а также образа и ядра оператора, давайте рассмотрим оператор проектирования на плоскость z = 0.

Оператор проектирования P на плоскость z = 0 преобразует векторы из трехмерного пространства в векторы на этой плоскости, оставляя координату z равной 0.

Пусть вектор в трехмерном пространстве имеет координаты (x, y, z). Тогда оператор проектирования на плоскость z = 0 действует следующим образом:

P(x, y, z) = (x, y, 0).

1. Доказательство линейности оператора: Для доказательства линейности оператора P нужно проверить, что он удовлетворяет свойствам линейности:

a) Сложение: P(u + v) = P(u) + P(v), где u и v - произвольные векторы. b) Умножение на скаляр: P(ku) = kP(u), где k - произвольное число.

Проверим данные свойства:

a) Сложение: Пусть u = (x1, y1, z1) и v = (x2, y2, z2) - произвольные векторы.

P(u) = (x1, y1, 0) P(v) = (x2, y2, 0)

Тогда P(u + v) = P(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)

А также P(u) + P(v) = (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)

Таким образом, P(u + v) = P(u) + P(v), что соответствует свойству сложения.

b) Умножение на скаляр: Пусть u = (x, y, z) - произвольный вектор, а k - произвольное число.

Тогда P(ku) = P(kx, ky, kz) = (kx, ky, 0)

А также kP(u) = k(x, y, 0) = (kx, ky, 0)

Таким образом, P(ku) = kP(u), что соответствует свойству умножения на скаляр.

Так как оператор P удовлетворяет обоим свойствам линейности, мы можем считать его линейным.

2. Нахождение матрицы оператора в базисе i, j, k: Для нахождения матрицы оператора P в базисе i, j, k, нужно определить, как он преобразует базисные векторы.

P(i) = (1, 0, 0) P(j) = (0, 1, 0) P(k) = (0, 0, 0)

Таким образом, матрица оператора P будет следующей:

| 1 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 0 |

3. Нахождение образа и ядра оператора: Образ оператора - это множество всех векторов, которые принадлежат плоскости z = 0. Так как проекция на плоскость z = 0 оставляет только первые две координаты неизменными, образ оператора - это вся плоскость xy (плоскость z = 0 без оси z).

Образ оператора P: {(x, y, 0) | x, y принадлежат множеству всех действительных чисел}

Ядро оператора - это множество всех векторов, которые отображаются оператором P в нулевой вектор.

Ядро оператора P: {(0, 0, z) | z принадлежит множеству всех действительных чисел}