Question

Линейный оператор А переводит векторы (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1) пространства R4 соответственно в векторы (0, 2, 1, 0), (1, 2, 1, -1), (-1, 2, 1, 1), (-1, 4, 2, 1). Построить матрицу оператора в естественном базисе.

Answer 1

Обозначим базисные векторы следующим образом

$e_1 = (1, 0, 0, 0)^T\\e_2 = (0, 1, 0, 0)^T\\...\\e_4 = (0, 0, 0, 1)^T$

Тогда из условия задачи следует

$A(e_1) = 2e_2 + e_3$ (первый вектор)

$A(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2 + e_3 - e_4$ (второй вектор)

Откуда $A(e_2) = A(e_1+e_2) - A(e_1) = e_1 - e_4$ (оператор линейный)

Повторяя эту операцию для всех оставшихся векторов получим

$A(e_3) = -2e_1 +2e_4\\A(e_4) = 2e_2 + e_3$

Матрица оператора $A$ в базисе $\{e_n\}$ таким образом имеет следующий вид

$\left[\begin{array}{cccc}0&1&-2&0\\2&0&0&2\\1&0&0&1\\0&-1&2&0\end{array}\right]$

Answer 2

Для построения матрицы линейного оператора A в естественном базисе пространства R^4, нужно записать, как каждый из базисных векторов (e1, e2, e3, e4) преобразуется линейным оператором A, и затем эти результаты объединить в матрицу. В данном случае, у нас есть информация о том, как оператор A действует на следующие базисные векторы:

A(e1) = (0, 2, 1, 0) A(e2) = (1, 2, 1, -1) A(e3) = (-1, 2, 1, 1) A(e4) = (-1, 4, 2, 1)

Теперь мы можем построить матрицу оператора A, в которой столбцы будут представлять результаты применения оператора к базисным векторам:

A = [A(e1), A(e2), A(e3), A(e4)] = [0 1 -1 -1] [2 2 2 4] [1 1 1 2] [0 -1 1 1]

Таким образом, матрица оператора A в естественном базисе R^4 будет выглядеть следующим образом:

A = | 0 1 -1 -1 | | 2 2 2 4 | | 1 1 1 2 | | 0 -1 1 1 |