Question

Сколькими нулями оканчивается произведение всех угольных чисел от 19 до 35 включительно

Answer 1

2 нулями оканчивается

Answer 2

Чтобы найти, сколько нулей оканчивает произведение всех угольных чисел от 19 до 35 включительно, нужно разложить каждое число на простые множители и посчитать количество множителей 2 и 5, так как 10 = 2 * 5, и каждое угольное число будет содержать как минимум одну пару 2 и 5.

Угольное число (факториал) для каждого числа можно записать в виде произведения простых множителей. В данном случае, нам понадобятся простые множители 2 и 5.

Давайте разложим каждое угольное число от 19 до 35:

19! = 2^16 * 3^8 * 5^3 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 20! = 2^18 * 3^8 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 21! = 2^19 * 3^9 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 22! = 2^19 * 3^9 * 5^4 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 23! = 2^20 * 3^9 * 5^4 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 24! = 2^22 * 3^10 * 5^4 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 25! = 2^22 * 3^10 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 26! = 2^23 * 3^10 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 27! = 2^24 * 3^12 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 28! = 2^25 * 3^12 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 29! = 2^26 * 3^12 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 30! = 2^26 * 3^13 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 31! = 2^27 * 3^13 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 32! = 2^30 * 3^14 * 5^5 * 7^3 * 11 * 13 * 17 * 19 33! = 2^30 * 3^14 * 5^5 * 7^4 * 11 * 13 * 17 * 19 34! = 2^31 * 3^14 * 5^5 * 7^4 * 11 * 13 * 17 * 19 35! = 2^32 * 3^15 * 5^5 * 7^4 * 11 * 13 * 17 * 19

Теперь посчитаем, сколько нулей оканчивает это произведение. Количество нулей будет определяться минимальным количеством множителей 2 и 5 в разложении каждого угольного числа:

Количество множителей 2: 16 + 18 + 19 + 19 + 20 + 22 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 26 + 27 + 30 + 30 + 31 + 32 = 394 Количество множителей 5: 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 67

Теперь нам нужно найти количество пар множителей 2 и 5 (пар 2-5), которые образуют 10. Минимальное количество пар определяет, сколько нулей оканчивает произведение. В данном случае, это будет определяться количеством множителей 5 (67), так как количество множителей 2 (394) будет намного больше:

Количество пар 2-5, образующих 10: 67

Следовательно, произведение всех угольных чисел от 19 до 35 оканчивается на 67 нулей.