Question

Разложить на линейные множители многочлен : P(z) = z^4+6z^2-7

Answer 1

Ответ:

$></p> <h3>Имеем разложенный многочлен:</h3> <p><img src=$

Answer 2

Раз линейные, то работаем, видимо, над полем комплексных чисел.

$P(z) = z^4 + 6z - 7 = (z^2 - 1)(z^2 + 7) = (z - 1)(z + 1)(z + i\sqrt{7})(z - i\sqrt{7})$

Answer 3

Чтобы разложить многочлен на линейные множители, нужно найти его корни, а затем представить его в виде произведения линейных множителей, связанных с этими корнями.

Для данного многочлена P(z) = z^4 + 6z^2 - 7, давайте найдем его корни.

Мы можем представить данное уравнение как квадратное уравнение относительно переменной z^2:

z^4 + 6z^2 - 7 = 0

Проведем замену: y = z^2, тогда уравнение примет вид:

y^2 + 6y - 7 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

(y + 7)(y - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения y:

1. y + 7 = 0 => y = -7
2. y - 1 = 0 => y = 1

Теперь найдем соответствующие значения z:

1. y = z^2 = -7 => z^2 = -7 => z = ±√(-7) (Корни комплексные числа)
2. y = z^2 = 1 => z^2 = 1 => z = ±1

Таким образом, корни многочлена P(z) равны z = √(-7), z = -√(-7), z = 1 и z = -1.

Теперь разложим многочлен на линейные множители, используя найденные корни:

P(z) = (z - √(-7))(z + √(-7))(z - 1)(z + 1)

Учитывая, что √(-7) представляет собой комплексное число, выражение можно переписать следующим образом:

P(z) = (z - √7i)(z + √7i)(z - 1)(z + 1)

Таким образом, разложение на линейные множители данного многочлена будет: P(z) = (z - √7i)(z + √7i)(z - 1)(z + 1).