Question

Найти производную функции с решением y = ((2/x)^x) *x^2

Answer 1

Вродє так я понял саму функцію

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ((2/x)^x) * x^2 по переменной x, мы будем использовать правило производной произведения и правило производной степенной функции. Давайте начнем:

Правило производной произведения: (d/dx) [u(x) * v(x)] = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Правило производной степенной функции: (d/dx) [x^n] = n * x^(n-1)

Теперь выразим нашу функцию y как произведение двух функций: y = ((2/x)^x) * x^2 = (u(x) * v(x))

где u(x) = (2/x)^x и v(x) = x^2.

Теперь найдем производные каждой из этих функций:

1. Найдем производную u'(x): u(x) = (2/x)^x

Для этого воспользуемся логарифмическим дифференцированием:

ln(u(x)) = ln((2/x)^x) ln(u(x)) = x * ln(2/x)

Теперь продифференцируем обе стороны по x:

(d/dx) [ln(u(x))] = (d/dx) [x * ln(2/x)]

Применим правило производной произведения на правой стороне:

(1/u(x)) * u'(x) = 1 * ln(2/x) + x * (d/dx) [ln(2/x)]

Теперь найдем производную (d/dx) [ln(2/x)]:

(d/dx) [ln(2/x)] = d/dx[ln(2) - ln(x)] = 0 - (1/x) = -1/x

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

(1/u(x)) * u'(x) = ln(2/x) - x * (1/x) (1/u(x)) * u'(x) = ln(2/x) - 1

Теперь найдем u'(x) (производную u(x)):

u'(x) = u(x) * (ln(2/x) - 1) u'(x) = ((2/x)^x) * (ln(2/x) - 1)

2. Найдем производную v'(x): v(x) = x^2

Используем правило производной степенной функции:

v'(x) = 2 * x^(2-1) v'(x) = 2x

Теперь у нас есть производные обеих функций u(x) и v(x). Теперь мы можем применить правило производной произведения, чтобы найти производную y'(x):

y'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Подставим значения:

y'(x) = ((2/x)^x) * (ln(2/x) - 1) * x^2 + ((2/x)^x) * 2x

Таким образом, производная функции y по переменной x равна:

y'(x) = ((2/x)^x) * (ln(2/x) - 1) * x^2 + 2 * ((2/x)^x) * x