Question

Найти производную функции y=fn x+1/x-1

Answer 1

Производная от составной функции находится по формуле:

$(f(g))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Производная от частного функций находится по формуле:

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Тогда получим

$\left(\ln\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{x-1}{x+1}\cdot\left(\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=-\frac{2}{x^2-1}$

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции y = f(x) = (x^n + 1) / (x - 1), где n - некоторая постоянная степень, воспользуемся правилами дифференцирования. Для упрощения вычислений представим функцию в виде двух слагаемых:

y = f(x) = x^n / (x - 1) + 1 / (x - 1)

Теперь найдем производные каждого из слагаемых по отдельности.

1. Для первого слагаемого x^n / (x - 1) применим правило дифференцирования частного и степенной функции:

(dy/dx)(x^n / (x - 1)) = (x - 1) * d/dx(x^n) - x^n * d/dx(x - 1) / (x - 1)^2

Теперь найдем производные внутри этого выражения:

d/dx(x^n) = n * x^(n-1) d/dx(x - 1) = 1

Подставим значения обратно в первое уравнение:

(dy/dx)(x^n / (x - 1)) = (x - 1) * n * x^(n-1) - x^n / (x - 1)^2

2. Для второго слагаемого 1 / (x - 1) просто найдем производную:

(dy/dx)(1 / (x - 1)) = -1 / (x - 1)^2

Теперь сложим обе производные, чтобы получить производную функции f(x):

dy/dx = (x - 1) * n * x^(n-1) - x^n / (x - 1)^2 - 1 / (x - 1)^2

Таким образом, производная функции y = f(x) = (x^n + 1) / (x - 1) равна:

dy/dx = (x - 1) * n * x^(n-1) - x^n / (x - 1)^2 - 1 / (x - 1)^2