Question

Найти производную функции y=ln^2(tg2/x)

Answer 1

$y=ln^2(tg\frac{2}{x})\\\\y'=2\, ln(tg\frac{2}{x})\cdot \frac{1}{tg\frac{2}{x}}\cdot \frac{1}{cos^2\frac{2}{x}}\cdot \frac{-2}{x^2}=-2\, ln(tg\frac{2}{x})\cdot \frac{4}{x^2\cdot sin\frac{4}{x}}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ln^2(tan(2/x)) по переменной x, воспользуемся правилами дифференцирования. Для удобства обозначим данную функцию как y = u^2, где u = ln(tan(2/x)).

Применяем правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

dy/dx = d(u^2)/dx = 2u * du/dx.

Теперь нам нужно вычислить производную du/dx.

Для этого рассмотрим функцию u = ln(tan(2/x)) и применим правило дифференцирования логарифма и тангенса:

du/dx = d[ln(tan(2/x))]/dx.

Применяем правило дифференцирования логарифма:

du/dx = (1/tan(2/x)) * d[tan(2/x)]/dx.

Теперь применяем правило дифференцирования тангенса:

du/dx = (1/tan(2/x)) * sec^2(2/x) * d[2/x]/dx.

Мы знаем, что d[2/x]/dx = -2/x^2 (производная 2/x). Подставляем это обратно в уравнение:

du/dx = (1/tan(2/x)) * sec^2(2/x) * (-2/x^2).

Теперь у нас есть выражение для du/dx, и мы можем найти dy/dx:

dy/dx = 2u * du/dx = 2 * ln(tan(2/x)) * (1/tan(2/x)) * sec^2(2/x) * (-2/x^2).

Сокращаем упрощаем выражение:

dy/dx = -4 * ln(tan(2/x)) * sec^2(2/x) / x^2.

Таким образом, производная функции y = ln^2(tan(2/x)) по переменной x равна:

dy/dx = -4 * ln(tan(2/x)) * sec^2(2/x) / x^2.