Question

Из группы, в которую входят 7 мальчиков и 4 девочки выбирают команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы в ней было: а) только 5 мальчиков; б) три девочки и три мальчика; в) не более двух мальчиков.

Answer 1

1) Выбираем 5 человек, все 5 - мальчики.

$C_7^5=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{5!}=21$

2)  Выбираем 5 человек,  но 3 мальчика и 3 девочки - это 6 человек. Значит 0 способов выбора 5-ти человек.

3)  Выбираем 5 человек. Не более 2-х мальчиков - это либо 2 мальчика и 3 девочки, либо 1 мальчик и 4 девочки, либо 0 мальчиков и 5 девочек . Выбрать только 5 девочек невозможно, т.к. их всего 4,. Поэтому остаётся первые два варианта: 2 мальчика или 1 мальчик.

$C_7^1\cdot C_4^4+C_7^2\cdot C_4^3=7\cdot 1+\frac{7\cdot 6}{2!}\cdot 4=7+84=91$

Answer 2

Для решения данной задачи о командах, можно использовать комбинаторику, а именно формулы для сочетаний и размещений.

а) Чтобы выбрать команду из 5 мальчиков из 7, можно использовать сочетания из 7 по 5:

C(7, 5) = 7! / (5! * (7 - 5)!) = 7! / (5! * 2!) = 21 способ.

б) Чтобы выбрать команду из 3 мальчиков из 7 и 3 девочек из 4, нужно рассчитать произведение сочетаний для каждой группы:

C(7, 3) * C(4, 3) = (7! / (3! * (7 - 3)!)) * (4! / (3! * (4 - 3)!)) = (7! / (3! * 4!)) * (4! / (3! * 1!)) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) * 4 = 35 * 4 = 140 способов.

в) Чтобы выбрать команду с не более чем 2 мальчиками, нужно рассмотреть два случая: 0 мальчиков и 1 мальчик.

• Для 0 мальчиков, нужно выбрать команду из 5 девочек из 4. Это можно сделать с помощью сочетаний:

C(4, 5) = 4! / (5! * (4 - 5)!) = 0 способов (невозможно выбрать 5 девочек из 4).

• Для 1 мальчика и 4 девочек, нужно выбрать команду из 1 мальчика из 7 и 4 девочек из 4:

C(7, 1) * C(4, 4) = (7! / (1! * (7 - 1)!)) * (4! / (4! * (4 - 4)!)) = (7! / (1! * 6!)) * (4! / (4! * 0!)) = 7 * 1 = 7 способов.

Теперь, чтобы получить общее количество способов для команд с не более чем 2 мальчиками, нужно сложить результаты из двух случаев:

0 способов + 7 способов = 7 способов.

Итак: а) Только 5 мальчиков: 21 способ. б) Три девочки и три мальчика: 140 способов. в) Не более двух мальчиков: 7 способов.