Question

В треугольнике ABC сторона AC=15см. Точка касания вписанной в треугольник окружности делит сторону AB пропорционально числам 2 и 1, начиная от вершины A. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 42см.

Answer 1

Пусть О-центр вписанной окружности, N - точка касания окр со стороной AC, K-точка касания окр со стор BC,M- точка касания окружности со стороной AB, тогда MB=x, AM=2x(2:1 от A), значит AB=3x. По утверждению со стр 167 учебника Атанасяна- отрезки касательных к окр, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой прямой проходящей через эту точку и центр окр-АМ=АN,зн.AN=2x и BK=x.Аналог. CK=CN=15-2x.

Answer 2

Пусть сторона AB имеет длину x, а сторона BC - y.

Так как точка касания вписанной окружности делит сторону AB пропорционально числам 2 и 1, начиная от вершины A, то отрезки AK и KB равны (2x) и (x) соответственно, где K - точка касания окружности с AB.

Также, известно, что сторона AC равна 15 см.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: P = AB + BC + AC

Мы знаем, что P = 42 см. Также, из пропорции для отрезков AK и KB, можно записать уравнение: AB = AK + KB = 2x + x = 3x

Теперь, чтобы найти значения x и y, решим систему уравнений, состоящую из уравнения для периметра и уравнения для стороны AB:

1. 3x + y + 15 = 42 (уравнение для периметра)
2. 3x = AB

Решим уравнение (1) относительно y: y = 42 - 3x - 15 y = 27 - 3x

Теперь, подставим выражение для y из уравнения (2): 3x = 2x + x 3x = 3x

Таким образом, система уравнений имеет бесконечное количество решений, так как сторона AB может принимать любые положительные значения, и сторона BC будет определяться как 27 - 3x.

В итоге, сторона AC = 15 см, сторона AB = 3x, а сторона BC = 27 - 3x, где x - произвольное положительное число. Треугольник будет существовать при любых положительных значениях сторон, удовлетворяющих условию P = 42 см.