Question

Метод математической индукции 2^(2n+1)+1 делится на 3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $2^{2n+1}+1$ делится на 3 для всех натуральных чисел $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При $n = 1$, выражение $2^{2n+1}+1$ принимает значение $2^{2\times 1+1}+1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$. Заметим, что 9 делится на 3 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого фиксированного натурального числа $k$, выражение $2^{2k+1}+1$ делится на 3, то есть существует такое целое число $m$, что $2^{2k+1}+1 = 3m$.

Шаг 3: Индукционный переход Теперь докажем, что если предположение индукции верно для $k$, то оно верно и для $k+1$. Рассмотрим выражение $2^{2(k+1)+1}+1$:

$2^{2(k+1)+1}+1 = 2^{2k+3}+1$

Так как $2^{2k+3} = 2^3 \cdot 2^{2k} = 8 \cdot 2^{2k}$, то:

$2^{2(k+1)+1}+1 = 8 \cdot 2^{2k} + 1$

Мы знаем из предположения индукции, что $2^{2k+1}+1 = 3m$, поэтому можем заменить $2^{2k}+1$ на $3m$:

$2^{2(k+1)+1}+1 = 8 \cdot (2^{2k}+1) = 8 \cdot (3m) = 24m$

Таким образом, мы получили, что $2^{2(k+1)+1}+1$ делится на 3 (равно $3 \cdot 8m$).

Шаг 4: Заключение Итак, мы доказали по методу математической индукции, что для всех натуральных чисел $n$, выражение $2^{2n+1}+1$ делится на 3.