Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить график x/(x^2-36) Пожалуйста помогите! Желательно ещё сводную таблицу туда же

Answer 1

График на фото:
---------------------------

Answer 2

Давайте начнем с исследования функции $f(x) = \frac{x}{x^2 - 36}$ с помощью производной.

Шаг 1: Найдем производную $f'(x)$ функции $f(x)$:

Для нахождения производной, воспользуемся правилом деления и правилом дифференцирования сложной функции.

Правило деления: $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{(v(x))^2}$

$u(x) = x$ и $v(x) = x^2 - 36$

$u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2x$

Тогда производная $f'(x)$ будет:

$f'(x) = \frac{(1)(x^2 - 36) - (2x)(x)}{(x^2 - 36)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 36 - 2x^2}{(x^2 - 36)^2}$

$f'(x) = \frac{-x^2 - 36}{(x^2 - 36)^2}$

Шаг 2: Найдем точки, где $f'(x) = 0$ или производная не существует, так как это могут быть критические точки функции:

Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$\frac{-x^2 - 36}{(x^2 - 36)^2} = 0$

Так как дробь может быть равна нулю только если числитель равен нулю:

$-x^2 - 36 = 0$

$x^2 = -36$

Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Таким образом, функция $f(x)$ не имеет критических точек.

Шаг 3: Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

Для этого исследуем знак производной $f'(x)$ в различных интервалах.

Для $x < -6$ функция $x^2 - 36$ положительна, а значит, и знак производной меняется в зависимости от знака числителя $-x^2 - 36$. Если $-x^2 - 36 < 0$, то $f'(x)$ будет положительна, что соответствует интервалу возрастания функции. Если $-x^2 - 36 > 0$, то $f'(x)$ будет отрицательна, что соответствует интервалу убывания функции.

Теперь составим таблицу для производной $f'(x)$:

$x$	$-\infty < x < -6$	$-6 < x < 6$	$6 < x < \infty$
$f'(x)$	+	-	+
Интервалы $f(x)$	Возрастание	Убывание	Возрастание

Шаг 4: Найдем точки пересечения с осями координат:

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем $f(x)$ к нулю:

$\frac{x}{x^2 - 36} = 0$

Функция будет равна нулю только при $x = 0$. Значит, у функции есть одна точка пересечения с осью $x$ в точке $(0, 0)$.

Шаг 5: Найдем пределы функции при $x$ стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

$\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{x}{x^2 - 36} = 0$