Question

Разложить на множители х^4+х^2+1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

Замечание. Так как в задании не было указано, над каким полем нужно разложение, ответ дан для поля R. Для получения ответа над полем C достаточно разложить каждую из скобок на множители над этим полем.

Answer 2

Для разложения выражения $x^4 + x^2 + 1$ на множители можно воспользоваться техникой подстановки и факторизации.

Сначала заметим, что данное выражение напоминает квадратное уравнение в переменной $x^2$. Проведем подстановку $u = x^2$:

$u^2 + u + 1$

Теперь у нас есть квадратное уравнение в переменной $u$, которое можно разложить на множители. Оно не имеет рациональных корней, но можно найти его комплексные корни. Решим уравнение $u^2 + u + 1 = 0$:

$u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная корни $u$, можем разложить выражение $u^2 + u + 1$ на множители:

$u^2 + u + 1 = \left(u - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(u - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)$

Теперь вернемся к переменной $x^2$:

$x^2 = u = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ или $x^2 = u = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем квадратные корни:

1. $x^2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ $\sqrt{x^2} = \sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}$ $x = \pm\sqrt{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}$

2. $x^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ $\sqrt{x^2} = \sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}$ $x = \pm\sqrt{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}}$

Таким образом, выражение $x^4 + x^2 + 1$