Question

1. Составить уравнение касательной к графику функции y=x^2 в точке (1;1). 2. Вычислить производную (d/dx)cos(2x^2-3x+7)3. Составить уравнение касательной к графику функции y=1/x^3+1 в точке (1;0,5).

Answer 1

Во втором формула производная сложной функции

Answer 2

1. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = x^2 в точке (1, 1), нужно найти производную функции и подставить в неё координаты точки (1, 1).

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^2 по переменной x. dy/dx = 2x

Шаг 2: Подставим значение x = 1 в найденную производную. dy/dx = 2 * 1 = 2

Теперь у нас есть значение производной функции в точке x = 1. Чтобы найти угловой коэффициент касательной, используем найденное значение производной.

Уравнение касательной имеет форму y = mx + b, где m - угловой коэффициент (значение производной), b - угловой коэффициент, который нужно найти.

Шаг 3: Подставим координаты точки (1, 1) в уравнение касательной и решим уравнение относительно b. 1 = 2 * 1 + b b = 1 - 2 b = -1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 в точке (1, 1) имеет вид: y = 2x - 1

2. Чтобы вычислить производную выражения cos(2x^2 - 3x + 7), применим правило дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

Шаг 1: Найдем производную функции cos(2x^2 - 3x + 7). d/dx [cos(2x^2 - 3x + 7)] = -sin(2x^2 - 3x + 7) * d/dx [2x^2 - 3x + 7]

Шаг 2: Вычислим производную d/dx [2x^2 - 3x + 7]. d/dx [2x^2 - 3x + 7] = 4x - 3

Теперь, объединим результаты: d/dx [cos(2x^2 - 3x + 7)] = -sin(2x^2 - 3x + 7) * (4x - 3)

3. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 1/x^3 + 1 в точке (1, 0.5), нужно найти производную функции и подставить в неё координаты точки (1, 0.5).

Шаг 1: Найдем производную функции y = 1/x^3 + 1 по переменной x. dy/dx = d/dx (x^(-3)) + d/dx (1)

Применим правило дифференцирования степенной функции: d/dx (x^n) = n*x^(n-1) dy/dx = -3/x^4 + 0 (производная константы равна нулю) dy/dx = -3/x^4

Шаг 2: Подставим значение x = 1 в найденную производную. dy/dx = -3/1^4 dy/dx = -3

Теперь у нас есть значение производной функции в точке x = 1. Чтобы найти угловой коэффициент касательной, используем найденное значение производной.

Уравнение касательной имеет форму y = mx + b, где m - угловой коэффициент (значение производной), b - угловой коэффициент, который нужно найти.

Шаг 3: Подставим координаты точки (1, 0.5) в уравнение касательной и решим уравнение относительно b. 0.5 = -3 * 1 + b b = 0.5 + 3 b = 3.5

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 1/x^3 + 1 в точке (1, 0.5) имеет вид: y = -3x + 3.5