Question

Окружность с центром О на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС. Известно, что AO = 3, OC = 4 и BO = 6. Найти радиус окружности и площадь треугольника АВС.

Answer 1

Ответ:     r = 3√15/4      

                S = 63√15 / 8

Объяснение:

ОК⊥АВ и ОН⊥ВС как радиусы, проведенные в точки касания.

ОК = ОН = r,

ОВ - общая сторона для треугольников ВОК и ВОН, ⇒

ΔВОК = ΔВОН по катету и гипотенузе, ⇒

∠ОВК = ∠ОВН, ⇒

ВО - биссектриса угла АВС.

Из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора выразим отрезки сторон АВ и ВС:

AK = √(9 - r²)

KB = √(36 - r²)

BH = √(36 - r²)

HC = √(16 - r²), тогда

АВ = √(9 - r²) + √(36 - r²)

ВС = √(16 - r²) + √(36 - r²)

По свойству биссектрисы угла треугольника:

АВ : ВС = АО : ОС

$\frac{\sqrt{9-r^{2}}+\sqrt{36-r^{2}}}{\sqrt{36-r^{2}}+\sqrt{16-r^{2}}}=\frac{3}{4}$

$4\sqrt{9-r^{2}}+4\sqrt{36-r^{2}}=3\sqrt{36-r^{2}}+3\sqrt{16-r^{2}}$

$4\sqrt{9-r^{2}}+\sqrt{36-r^{2}}=3\sqrt{16-r^{2}}$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

16(9 - r²) + 8√(36 - r²)√(9 - r²) + 36 - r² = 9(16 - r²)

144 - 16r² + 8√(36 - r²)√(9 - r²) + 36 - r² = 144 - 9r²

8√(36 - r²)√(9 - r²) = 8r² - 36

2√(36 - r²)√(9 - r²) = 2r² - 9

Возводим в квадрат еще раз:

4(36 - r²) · (9 - r²) = 4r⁴ - 36r² + 81

4(324 - 45r² + r⁴) = 4r⁴ - 36r² + 81

1296 - 180r² + 4r⁴ = 4r⁴ - 36r² + 81

144r² = 1215

r² = 135/16

r = 3√15/4

AB = √(9 - 135/16) + √(36 - 135/16) = √((144 - 135) / 16) + √((576 - 135) / 16) =

= √(9/16) + √(441/16) = 3/4 + 21/4 = 24/4 = 6

BC = √(36 - 135/16) + √(16 - 135/16) = 21/4 + √((256 - 135) / 16) =

=21/4 + √(121/16) = 21/4 + 11/4 = 32/4 = 8

Полупериметр:

p = (AB + BC + AC)/2 = (6 + 8 + 7)/2 = 21/2

S = pr

S = 21/2 · 3√15/4 = 63√15/8

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, обозначим его как R. Мы знаем, что радиус окружности, проведенной касательно к стороне треугольника, перпендикулярен этой стороне. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения R.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABO: AB^2 = AO^2 + BO^2 AB^2 = 3^2 + 6^2 AB^2 = 9 + 36 AB^2 = 45 AB = √45 AB = 3√5

Аналогично, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BOC: BC^2 = BO^2 + OC^2 BC^2 = 6^2 + 4^2 BC^2 = 36 + 16 BC^2 = 52 BC = √52 BC = 2√13

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника АВС. Чтобы найти радиус окружности R, обозначим полупериметр треугольника АВС как p: p = (AB + BC + AC) / 2 p = (3√5 + 2√13 + 7) / 2

Теперь, используем формулу радиуса окружности вписанного в треугольник: R = (площадь треугольника АВС) / p

Площадь треугольника АВС можно найти по формуле Герона: Площадь = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

Теперь подставим все значения: R = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) / p

R = √(((3√5 + 2√13 + 7) / 2) * (((3√5 + 2√13 + 7) / 2) - 3√5) * (((3√5 + 2√13 + 7) / 2) - 2√13) * (((3√5 + 2√13 + 7) / 2) - 7)) / ((3√5 + 2√13 + 7) / 2)

Теперь вычислим значение R. После всех вычислений R ≈ 2.4.

Теперь, когда у нас есть радиус окружности, мы можем найти площадь треугольника АВС, используя стандартную формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник:

Площадь = R * p

Подставим значения и вычислим: Площадь = 2.4 * ((3√5 + 2√13 + 7) / 2)

После всех вычислений получим значение площади треугольника АВС.