Question

Найдите наименьшее значение первообразной функции y=2x+4, проходящей через точку (2;8).

Answer 1

Ответ: Ymin(-2) = - 8

Пошаговое объяснение:

1) $Y(x)=\int\limits {(4+2x)} \, dx=\frac{4x}{1}+\frac{2x^2}{2}+C$

- первообразная полинома.

Важно: при такой записи интеграла - степень при Х увеличивается на 1 (единицу) и на эту новую степень дробь делится - мнемоника.

Находим значение С, при Х=2, У = 8

2) 2² + 4*2 + С = 8  - проходит через точку у=8 - решаем.

3) С = 8 - 4 - 78 = - 4 - нашли сдвиг и получили уравнение

4) F(x) = x² - 4*x - 4 = 0 - парабола и надо найти минимум - координату вершины. Преобразуем к полному квадрату по Х.

5) F(x) = (x²-4*x+4) - 4 -4 = (x-2)² - 8 - другая запись этого уравнения.

Думаем: Вершина параболы в точке А(-2,-8) и минимальное значение  будет равно У = -8.

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение первообразной функции $y = 2x + 4$, проходящей через точку (2;8), нужно вычислить интеграл этой функции и найти его значение при некотором постоянном значении интегрирования $C$.

Интеграл функции $y = 2x + 4$ будет равен: $\int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C$

Теперь, чтобы найти конкретное значение постоянной $C$, используем информацию о том, что первообразная проходит через точку (2;8). Подставим $x = 2$ и $y = 8$ в уравнение первообразной:

$8 = 2^2 + 4 \cdot 2 + C$ $8 = 4 + 8 + C$ $C = 8 - 12 = -4$

Таким образом, наименьшее значение первообразной функции $y = 2x + 4$, проходящей через точку (2;8), равно $x^2 + 4x - 4$.