Question

Найти высоту параллелограмма ABCD A(2;3;-1), B(3;1;1), C(-3;0;1), D(-1;1;1), опущенную из вершины С

Answer 1

Ответ:

√(21/17)

Пошаговое объяснение:

Из вершины С высота попадёт на прямую AD. Следовательно, искомая высота равна расстоянию от точки С до прямой AD. Найдём его.

Уравнение прямой AD составляем по двум точкам А и D:

(х - 2)/(-3) = (y - 3)/(-2) = (z + 1)/2

Направляющий вектор этой прямой Р = (-3; -2; 2) имеет длину (модуль) √(-3)² + (-2)² + 2² = √17.

Возьмём произвольную точку на прямой AD. Удобно взять М (2; 3; -1), координаты обращают уравнение в нуль. Точка С по условию имеет координаты (-3; 0; 1).

Тогда вектор СМ = (5; 3; -2). Найдём векторное произведение этого вектора на направляющий вектор прямой AD:

| i     j     k |

| 5    3    -2 |

|-3   -2     2 |

PxCM = 2i - 4j - k = √2² + (-4)² + (-1)² = √21.

Окончательно расстояние от точки С до прямой AD (оно же - искомая высота) равно √21 : √17 = √(21/17)

Answer 2

Чтобы найти высоту параллелограмма, опущенную из вершины C, нужно найти перпендикулярное расстояние от вершины C до противоположной стороны параллелограмма (от стороны AB).

Шаги для решения:

1. Найдите векторы AB и AC, соединяющие вершины A и B с вершиной C: AB = B - A = (3, 1, 1) - (2, 3, -1) = (1, -2, 2) AC = C - A = (-3, 0, 1) - (2, 3, -1) = (-5, -3, 2)

2. Найдите векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости ABDC (параллелограмму): N = AB × AC

   Где × - это оператор векторного произведения, и результат будет вектором, перпендикулярным к обеим исходным векторам.

3. Теперь найдите проекцию вектора CD (вектор, соединяющий вершины C и D) на вектор N. Это и будет искомой высотой:

   h = |CD_proj| = |CD| * cos(θ)

   Где |CD| - длина вектора CD, а θ - угол между векторами CD и N. Так как N перпендикулярен плоскости ABDC, то θ будет прямым углом (90 градусов).

4. Вычислите длину вектора CD и используйте ее для нахождения высоты h:

   CD = D - C = (-1, 1, 1) - (-3, 0, 1) = (2, 1, 0) |CD| = √(2^2 + 1^2 + 0^2) = √5

   h = |CD_proj| = |CD| * cos(90°) = √5 * 0 = 0

Таким образом, высота параллелограмма ABCD, опущенная из вершины C, равна 0. Это означает, что вершина C лежит в той же плоскости, что и сторона AB.