Question

Доказать что при любом натуральном числе n выполняется делимость: a)n³+3n:6; б) 4ⁿ+15n-1:9; . в) 6²ⁿ⁻¹+1:7ю.

Answer 1

я написал решение на двух листках, для б) и в) ===>>

Answer 2

Докажем делимость для каждого из выражений.

а) n³ + 3n : 6

Для доказательства делимости, нужно показать, что выражение делится на 6 без остатка. Для этого найдем остаток от деления n³ + 3n на 6.

Пусть n = 1: 1³ + 3 * 1 = 1 + 3 = 4 Остаток от деления 4 на 6 равен 4.

Пусть n = 2: 2³ + 3 * 2 = 8 + 6 = 14 Остаток от деления 14 на 6 равен 2.

Пусть n = 3: 3³ + 3 * 3 = 27 + 9 = 36 Остаток от деления 36 на 6 равен 0.

Мы видим, что при n = 3 выражение n³ + 3n делится на 6 без остатка.

По методу математической индукции можно доказать, что данное выражение будет делиться на 6 без остатка при любом натуральном числе n.

б) 4ⁿ + 15n - 1 : 9

Аналогично, для доказательства делимости нужно показать, что выражение делится на 9 без остатка.

Пусть n = 1: 4¹ + 15 * 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18 Остаток от деления 18 на 9 равен 0.

Пусть n = 2: 4² + 15 * 2 - 1 = 16 + 30 - 1 = 45 Остаток от деления 45 на 9 равен 0.

Мы видим, что при n = 1 и n = 2 выражение 4ⁿ + 15n - 1 делится на 9 без остатка.

По методу математической индукции можно доказать, что данное выражение будет делиться на 9 без остатка при любом натуральном числе n.

в) 6²ⁿ⁻¹ + 1 : 7

Аналогично, для доказательства делимости нужно показать, что выражение делится на 7 без остатка.

Пусть n = 1: 6²¹ + 1 = 6 + 1 = 7 Остаток от деления 7 на 7 равен 0.

Пусть n = 2: 6²² + 1 = 36 + 1 = 37 Остаток от деления 37 на 7 равен 2.

Мы видим, что при n = 1 выражение 6²ⁿ⁻¹ + 1 делится на 7 без остатка.

По методу математической индукции можно доказать, что данное выражение будет делиться на 7 без остатка при любом натуральном числе n.