Question

Используя метод математической индукции, доказать делимость данных выражений на заданное число при любом натуральном значении переменной n: n(n+1)(n+2)(n+3)⋮4 , (4n-1)⋮3

Answer 1

1. например n=2,тогда,n(n+1)(n+2)(n+3):4= 2(2+1)•(2+2)•(2+3):4=24

ответ: 24

2. в выражении (4n-1):3 ....допустим n =4,тогда (4n-1):3=(4•4-1):3=5

ответ:5

хз правильно или нет... мы так делали...

Answer 2

Ответ:

123

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для доказательства делимости данных выражений на заданное число при любом натуральном значении переменной n методом математической индукции, мы должны выполнить два шага: базовый случай и индукционный переход.

1. Доказательство делимости выражения n(n+1)(n+2)(n+3) на 4:

Базовый случай: Подставим n = 1 в выражение и докажем, что оно делится на 4:

$$1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 2) \cdot (1 + 3) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24.$$

24 делится на 4, следовательно, базовый случай выполняется.

Индукционный переход: Предположим, что выражение верно для некоторого k, т.е. предположим, что k(k+1)(k+2)(k+3) делится на 4. Докажем, что это также верно для k+1:

$$(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k(k+1)(k+2)(k+3)) + 4(k+1)(k+2)(k+3).$$

Первое слагаемое делится на 4 в соответствии с предположением индукции, а второе слагаемое также делится на 4, так как оно является произведением трех последовательных чисел. Следовательно, их сумма делится на 4. Это завершает индукционный переход.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что выражение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 4 для любого натурального n.

2. Доказательство делимости выражения (4n-1) на 3:

Базовый случай: Подставим n = 1 в выражение и докажем, что оно делится на 3:

$$4 \cdot 1 - 1 = 3.$$

3 делится на 3, следовательно, базовый случай выполняется.

Индукционный переход: Предположим, что выражение верно для некоторого k, т.е. предположим, что (4k-1) делится на 3. Докажем, что это также верно для k+1:

$$4(k+1) - 1 = 4k + 4 - 1 = 4k + 3.$$

4k делится на 3 в соответствии с предположением индукции, и 3 также делится на 3. Таким образом, их сумма делится на 3. Это завершает индукционный переход.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что выражение (4n-1) делится на 3 для любого натурального n.