Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=4x-x^2, x=5, y=0, x=-0

Answer 1

Ответ: S = 13.

Дано: f(x)=-1*x²+4*x),  y(x)=0, a=5, b = 0.

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

Рисунок к задаче в приложении.

1) Находим точки пересечения графиков.

-x²+4*x =0 - квадратное уравнение

X2 = 4- верхний предел, b = 0- нижний предел.

ВНИМАНИЕ! Точка пересечения с У=0 ближе, чем заданный предел а=5. Получили фигуру из двух частей - её площадь - сумма двух интегралов.

2) Площадь от 0 до 4 - интеграл разности функций.

f(x) = 4*x - *x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

F(x) = 4/2*x² -1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(4) = 0+32 -21,33 = 10,67  (10 2/3)

S(b) = S(0) =0+0+0 = 0

 S(+) = S(0)- S(4)  = 10 2/3  (10,67) - площадь верхней части.

Добавляем интеграл от нижней части фигуры - от х=4 до х =5.

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(4) = 10,67  - (было и выше).

S(а) = S(5) = 0+50 - 41,67  = 8,33 (8 1/3)

 S(-) = S(4)- S(5)  = 2,33 (2 1/3) - площадь  нижней части.

Суммируем и получаем ответ.

S = S(+) + S(-) = 10 2/3 + 2 1/3 = 13 - площадь - ответ.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем найти площадь под кривой y = 4x - x^2 в пределах этих точек.

1. Найдем точки пересечения линий y = 4x - x^2 и y = 0: Подставим y = 0 в уравнение кривой y = 4x - x^2: 0 = 4x - x^2 x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: a) x = 0 b) x = 4

2. Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими линиями, нужно вычислить определенный интеграл от y = 0 до y = 4x - x^2.

Площадь = ∫[0,4] (4x - x^2) dx

Вычислим интеграл:

∫(4x - x^2) dx = 2x^2 - (x^3)/3

Теперь найдем площадь между границами [0, 4]:

Площадь = (2 * 4^2 - (4^3)/3) - (2 * 0^2 - (0^3)/3) = (2 * 16 - 64/3) - (0) = (32 - 64/3) = (32 * 3 - 64)/3 = (96 - 64)/3 = 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x^2, x = 5, y = 0, x = 0, составляет 32/3 или приблизительно 10.67 квадратных единиц.