Question

Дан прямоугольник. Когда две его противоположные стороны удлинили, площадь возросла в 2 раза, его периметр увеличился с 36 см до 58 см. Найдите размеры исходного прямоугольника. Помогите пожалуйста

Answer 1

а - одна сторона прямоугольника

b - вторая сторона прямоугольника

a1 - удлиненная сторона

1) 2a+2b=36

2) 2a1+2b=58

Вычтем из второго первое

2а1+2b-2a-2b=58-36

2a1-2a=22

a1-a=11

=> сторону увеличили на 11 см

a*b*2=(a+11)*b

2ab=ab+11b

ab=11b

a=11

2*11+2b=36

2b=14

b=7

Ответ: 11см и 7см.

Answer 2

Пусть исходный прямоугольник имеет длину L и ширину W.

Когда две противоположные стороны удлинили, новые размеры прямоугольника будут (L + x) и (W + x), где x - это удлинение каждой из сторон.

Согласно условию, площадь нового прямоугольника возросла в 2 раза, то есть новая площадь равна старой площади, умноженной на 2:

(L + x) * (W + x) = 2 * L * W

Также известно, что периметр увеличился с 36 см до 58 см:

2 * (L + W) + 2 * (L + x + W + x) = 58

Разрешим эту систему уравнений для L и W.

1. Перепишем уравнения: (L + x) * (W + x) = 2 * L * W ...........(1) 2 * (L + W) + 2 * (L + x + W + x) = 58 ...........(2)

2. Раскроем скобки в уравнении (2): 2L + 2W + 2x + 2x = 58 2L + 2W + 4x = 58

3. Перенесем все известные значения в одну сторону, а неизвестные в другую: 2L + 2W + 4x - 58 = 0 ...........(3)

4. Теперь рассмотрим уравнение (1) и раскроем скобки: LW + Lx + Wx + x^2 = 2LW

5. Перенесем все известные значения в одну сторону, а неизвестные в другую: Lx + Wx + x^2 - 2LW = 0 ...........(4)

6. Теперь у нас есть система уравнений (3) и (4). Решим ее.

Можно воспользоваться методом подстановки или выразить одну из переменных через другую и подставить в уравнение (4). Я воспользуюсь методом подстановки.

7. Решим уравнение (3) относительно одной из переменных, например, L: 2L + 2W + 4x - 58 = 0 2L = 58 - 2W - 4x L = 29 - W - 2x ...........(5)

8. Теперь подставим это значение для L в уравнение (4): Lx + Wx + x^2 - 2LW = 0 (29 - W - 2x)x + Wx + x^2 - 2(29 - W - 2x)W = 0 29x - Wx - 2x^2 + Wx + x^2 - 58W + 4xW + 4x^2 = 0 5x^2 - 29x + 58W - 58W + 4xW = 0 5x^2 - 29x + 4xW = 0 ...........(6)

9. Теперь у нас есть уравнение (6), которое можно решить относительно x. Найдем значение x.

Для этого можно воспользоваться квадратным уравнением или факторизацией. Поскольку здесь у нас нет больших коэффициентов, воспользуемся факторизацией.

Разложим уравнение 5x^2 - 29x + 4xW на два множителя: 5x^2 - 29x + 4xW = 0 5x^2 - (25 + 4W)x - 4Wx = 0

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1. 5x^2 - (25 + 4W)x = 0 x(5x - 25 - 4W) = 0 x = 0 (это не подходит, так как размеры прямоугольника не могут быть нулевыми) или
2. 5x - 25 - 4W = 0 5x = 25 + 4W x = (25 + 4W) / 5 x = 5 + 0.8W ...........(7)

10. Теперь у нас есть выражение для x через W. Вернемся к уравнению (5) и подставим значение x:

L = 29 - W - 2x L = 29 - W - 2(5 + 0.8W) L = 29 - W - 10 - 1.6W L = 19 - 2.6W ...........(8)

11. Теперь у нас есть выражения для L и x через W. Вернемся к начальным условиям и найдем W и L.

Периметр исходного прямоугольника равен 36 см:

2L + 2W = 36

Подставим значения из уравнений (8) и (7):

2(19 - 2.6W) + 2W = 36 38 - 5.2W + 2W = 36 38 - 3.2W = 36 -3.2W = 36 - 38 -3.2W = -2 W = -2 / -3.2 W = 0.625 см

Теперь найдем L, используя уравнение (8):

L = 19 - 2.6W L = 19 - 2.6(0.625) L = 19 - 1.625 L = 17.375 см

Таким образом, исходный прямоугольник имел размеры L = 17.375 см и W = 0.625 см.