Question

Известно, что (2a - b - c + 2019), (2b - a - c +2019) и (2c - a - b +2019) -- последовательные целые числа. Найди эти числа. Я знаю как решать, подбирать нужно, но мне нужен срочно ответ)

Answer 1

Последовательные, значит отличаются на единицу

$\begin{cases}(2b-a-c+2019)-(2a-b-c+2019)=1\\(2c-a-b+2019)-(2b-a-c+2019)=1\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}2b-a-c+2019-2a+b+c-2019=1\\2c-a-b+2019-2b+a+c-2019=1\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}3b-3a=1\\3c-3b=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b-a=\frac13\\c-b=\frac13\end{cases}$

a, b и c могут быть любыми, удовлетворяющими условиям последней системы. Например, a = 1/3, b = 2/3, c = 1. Тогда

2a-b-c+2019 = 2/3-2/3-1+2019 = 2018

2b-a-c+2019 = 4/3-1/3-1+2019 = 2019

2c-a-b+2019 = 2-1/3-2/3+2019 = 2020

Answer 2

Давайте решим эту задачу.

У нас есть три последовательных целых числа, обозначим их как N, N+1 и N+2.

Из условия задачи, у нас есть три выражения:

1. 2a - b - c + 2019 = N
2. 2b - a - c + 2019 = N+1
3. 2c - a - b + 2019 = N+2

Теперь мы можем решить систему уравнений, подставив одно уравнение в другое.

Из уравнения (1) выразим a:

2a = N + b + c - 2019 a = (N + b + c - 2019) / 2

Подставим значение a в уравнение (2):

2b - ((N + b + c - 2019) / 2) - c + 2019 = N + 1

Упростим:

4b - (N + b + c - 2019) - 2c + 4038 = 2N + 2

3b - 3c = N + 2039

Теперь, из уравнения (1) найдем значение a:

2c - ((N + b + c - 2019) / 2) - ((N + b + c - 2019) / 2) + 2019 = N + 2

Упростим:

4c - (N + b + c - 2019) + 4038 = 2N + 3

3c - b = N + 2021

Теперь у нас есть два уравнения:

3b - 3c = N + 2039 3c - b = N + 2021

Решим систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:

3b - 3c - (3c - b) = (N + 2039) - (N + 2021)

3b - 3c - 3c + b = 18

4b - 6c = 18

Теперь выразим b из этого уравнения:

4b = 6c + 18 b = (6c + 18) / 4 b = (3c + 9) / 2

Теперь, подставим значение b обратно в уравнение (3):

3c - ((3c + 9) / 2) = N + 2021

Упростим:

6c - (3c + 9) = 2N + 4042

3c - 9 = 2N + 4042

3c = 2N + 4051

Таким образом, мы нашли, что 3c равно (2N + 4051). Теперь заметим, что c является целым числом, и для того, чтобы (2N + 4051) было кратно 3, (2N) должно быть кратно 3.

Мы знаем, что (2a - b - c + 2019) = N, поэтому N является целым числом. Таким образом, для того, чтобы (2N) было кратно 3, N должно быть кратно 3.

Предположим, что N = 3k, где k - целое число. Тогда (2N + 4051) = 6k + 4051, и для того, чтобы c было целым числом, (6k + 4051) должно быть кратно 3.

4051 не делится на 3, но заметим, что при k = 3, (6k + 4051) = 4069 делится на 3. Поэтому, если N = 3 * 3 = 9, то получаем:

c = (2N + 4051) / 3 = (2 * 9 + 4051) / 3 = 4069 / 3 = 1356.333...

Здесь мы получили нецелое значение для c, что означает, что предположение о том, что N = 3k, было неверным.

Теперь предположим, что N = 3k + 1, где k - целое число. Тогда (2N + 4051) = 6k + 4053, и для того, чтобы c было целым числом, (6k + 4053) должно быть кратно 3.

4053 делится на 3, равно 1351, таким образом:

c = (2N + 4051) / 3 = (2 * (3k + 1) + 4051) / 3 = (6k + 2 + 4051) / 3 = (6k + 4053) / 3 = 1351

Теперь, зная значение c, мы можем найти b, подставив значение c в уравнение (2):

3c - b = N + 2021

3 * 1351 - b = 3k + 1 + 2021

4053 - b = 3k + 2022

b = 4053 - 3k - 2022 b = 2031 - 3k

Наконец, чтобы найти a, подставим значения b и c в уравнение (1):

2a - b - c + 2019 = N

2a - (2031 - 3k) - 1351 + 2019 = 3k + 1

2a - 2031 + 3k - 1351 + 2019 = 3k + 1

2a - 363 + 3k = 3k + 1

2a - 363 = 1

2a = 364

a = 364 / 2

a = 182

Таким образом, искомые три последовательных целых числа равны: 182, 2031 и 1351.