Question

Саша, Маша и Сережа покупали блокноты стоимостью 1 руб и авторучки. Саша купил 2 авторучки и 1 блокнот, Миша - 4 авторучки и 2 блокнота, Сережа - 6 авторучек и 7 блокнотов. Оказалось, что суммы, которые заплатили мальчики перечисленные в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию. Сколько стоит авторучка? Ответ - 1,5 рубля, мне нужно лишь решение.

Answer 1

Ответ:

1,5 рубля

Пошаговое объяснение:

цена блокнота ------ 1 руб.

Саша ----- 2 а. + 1 б.

Миша ---- 4 а. + 2 б.

Сережа ---- 6 а. + 7 б.

суммы каждого ----- ? руб, но сост. геом. прогрессию

цена авторучки --- ? руб.

Решение

   Так как стоимость блокнота 1 рубль, что их стоимость, входящая в суммы, численно равна их количеству.

(2а. + 1 ) руб. ------ сумма Саши

(4а. + 2) руб. ------ сумма Миши

(6а. + 7) руб. ----- сумма Сережи

   Так как по условию суммы составляют геометрическую прогрессию, то отношения последующих сумм к предыдущим должны быть равны.

(4а.+ 2)/(2а.+ 1) = (6а.+7)/(4а.+ 2)

(4а.+2)² = (6а.+ 7)*(2а. + 1)

16а.² + 16а. + 4 = 12а.² + 6а. + 14а. + 7

4а.² - 4а. - 3 = 0

D = 16 + 4*4*3 = 64 = 8²   D > 0

а.₁ = (4 + √(8²))/8 = (4+8)/8 = 12/8 = 1,5 (руб.) --- стоимость авторучки

а.₂  = (4-8)/8 = -0,5 (руб.) ---- не имеет смысла в данной задаче

Ответ: 1,5 рубля стоит авторучка

Проверка: 2*1,5 +1=4; 4*1,5+2=8; 6*1,5+7=16

4; 8; 16 ---- члены геометрической прогрессии, последующий в 2 раза больше предыдущего.

Answer 2

Давайте обозначим стоимость авторучки через "х" рублей.

Тогда Саша заплатил за авторучки и блокнот: 2х + 1 рубль. Маша заплатила за авторучки и блокноты: 4х + 2 рубля. Сережа заплатил за авторучки и блокноты: 6х + 7 рублей.

У нас дано, что эти суммы составляют геометрическую прогрессию, то есть (4х + 2) / (2х + 1) = (6х + 7) / (4х + 2).

Теперь решим уравнение:

(4х + 2) / (2х + 1) = (6х + 7) / (4х + 2).

Для упрощения умножим обе части уравнения на (2х + 1) * (4х + 2) (общее НОК):

(4х + 2) * (4х + 2) = (6х + 7) * (2х + 1).

Раскроем скобки:

16х^2 + 8х + 8х + 4 = 12х^2 + 6х + 14х + 7.

Теперь приведем подобные слагаемые:

16х^2 + 16х + 4 = 12х^2 + 20х + 7.

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

16х^2 - 12х^2 + 16х - 20х + 4 - 7 = 0.

Упростим:

4х^2 - 4х - 3 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 4, b = -4, c = -3.

D = (-4)^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b + √D) / 2a,

x = (4 + √64) / 2 * 4,

x = (4 + 8) / 8,

x = 12 / 8,

x = 3 / 2.

Таким образом, стоимость авторучки равна 3/2 рубля или 1.5 рубля.