Question

В окружность радиусом R вписан правильный 12угольник а1а2...а12 найти площадь треугольника а1а2а3

Answer 1

Ответ:

Воспользуемся формулой площади треугольника: S=1/2*a*b*sina. a и b - две соседние стороны, sina - синус угла между ними. Так как OA1=OA5=OA7, достаточно доказать, что sin(A1OA5)=sin(A5OA7). Заметим, что угол A1OA2 равен 1/12*360=30 градусам, так как он равен 1/12 угла в 360 градусом. Угол A1OA5 в 4 раза больше этого угла, а угол A5OA7 в 2 раза больше этого угла. Первый угол равен 60, а второй 120 градусам. sin60=sin120=√3/2, тогда и площади треугольников будут равны.

Нажми, чтобы рассказать другим, насколько ответ полезен

3,0

12 оценок

СПАСИБО

57

Отметить нарушение

spitemotesite

Статус: середнячок

105/250

Мои вызовы

Ответь на 5 вопросов из любого предмета за 48 ч.: +50 б.

3/5

1д : 23ч

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте сначала определимся с некоторыми свойствами правильного 12-угольника, который вписан в окружность радиусом R.

1. Угол между любыми двумя радиусами, проведенными из центра окружности к вершинам 12-угольника, составляет 360°/12 = 30°.
2. Поскольку 12-угольник правильный, все его стороны равны между собой и образуют равносторонний треугольник.

Теперь давайте рассмотрим треугольник A₁A₂A₃. Угол A₁ в центре окружности равен 360°/12 = 30° (как и любой другой центральный угол правильного 12-угольника). Так как A₁A₂A₃ - равносторонний треугольник, все его углы также равны 60°.

Теперь мы можем найти площадь треугольника A₁A₂A₃. Для этого мы можем воспользоваться формулой для площади равностороннего треугольника:

Площадь = (сторона² * √3) / 4.

Давайте найдем длину стороны треугольника. Мы знаем, что радиус окружности R - это расстояние от центра окружности до вершины треугольника A₁. Также, сторона треугольника A₁A₂A₃ равна длине хordy (отрезка, соединяющего вершины треугольника) между вершинами A₁ и A₂.

Для нахождения длины хорды, можно использовать трикутник равнобедренный треугольник A₁OA₂, где O - центр окружности. Длина хорды A₁A₂ равна стороне равнобедренного треугольника A₁OA₂. Зная угол A₁OA₂, который равен половине угла в центре окружности, т.е., 30°, мы можем применить тригонометрические соотношения:

A₁A₂ = 2 * R * sin(30°).

Итак, длина стороны треугольника A₁A₂A₃:

A₁A₂A₃ = 2 * R * sin(30°).

Теперь мы можем найти площадь треугольника A₁A₂A₃:

Площадь = (A₁A₂A₃² * √3) / 4.