Question

Два землепашца, Иван и Григорий, могут вспахать поле за 6 часов. За сколько часов Иван может вспахать всё поле, если Иван всю работу может закончить на 5 часов раньше, чем Григорий?

Answer 1

Пусть х - время, за которое Иван может вспахать все поле.
Тогда х+5 - время, за которое все поле может вспахать Григорий.
Примем всю площадь поля за 1.
Тогда 1/х - производительность Ивана.
1/(х+5) - производительность Григория.
1/х + 1/(х+5) - производительность Ивана и Григория, работающих вместе что соответствует 1/6.
Уравнение
1/х + 1/(х+5) = 1/6

Умножим обе части неравенства на 6х(х+5), чтобы избавиться от знаменателей.
6х(х+5)/х + 6х(х+5)/(х+5) = 6х(х+5)/6
6(х+5) + 6х = х(х+5)
6х+30 + 6х = + х^2 + 5х
х^2 - 7х - 30 = 0
D = 49 -4(-30) = 49 + 120 = 169
√D = √169 = 13
x1 = (7-13)/2 = -6/2 = -3 - не походит, поскольку время не может отрицательным.
х2 = (7+13)/2 = 20/2 = 10 часов - время, за которое Иван вспашет все поле.

Ответ: 10 часов

Проверка
1) 1:10= 1/10 - производительность Ивана.
2) 1:6 = 1/6 - производительность Ивана и Григория, работающих вместе.
3) 1/6 - 1/10 = 5/30 - 3/30 = 2/30 = 1/15 - производительность Григория.
4/ 1 : 1/15 = 15 часов- за такое время Григория может выполнить всю работу.
5) 15-10=5 часов - на столько часов Иван выполнит работу раньше, чем Григорий.

Answer 2

Пусть x - это время, за которое Иван может вспахать всё поле самостоятельно (в часах).

Из условия задачи известно, что оба землепашца вместе могут вспахать поле за 6 часов. Таким образом, их совместная работоспособность равна 1/6 поля в час (поле/час).

Также условие гласит, что Иван может закончить всю работу на 5 часов раньше, чем Григорий. Это означает, что если Григорий вспахивает поле за x часов, то Иван вспахивает поле за (x - 5) часов.

Теперь мы можем сформулировать уравнение на основе совместной работоспособности:

Работа Ивана за 1 час + Работа Григория за 1 час = Общая работа за 1 час

1/x + 1/(x - 5) = 1/6

Далее решим это уравнение:

Умножим обе стороны уравнения на 6x(x-5), чтобы избавиться от знаменателей:

6*(x - 5) + 6x = x(x - 5)

Раскроем скобки:

6x - 30 + 6x = x^2 - 5x

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

x^2 - 5x - 12x + 30 = 0

x^2 - 17x + 30 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать факторизацию или квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac

Для нашего уравнения a = 1, b = -17, c = 30:

D = (-17)^2 - 4 * 1 * 30 = 289 - 120 = 169

Дискриминант положителен, что означает, что уравнение имеет два различных вещественных корня:

x = (-b + √D) / (2a) или x = (-b - √D) / (2a)

x = (17 + √169) / 2 или x = (17 - √169) / 2

x = (17 + 13) / 2 или x = (17 - 13) / 2

x = 30 / 2 или x = 4 / 2

x = 15 или x = 2

Так как время не может быть отрицательным, то x = 15 часов. Иван может вспахать всё поле самостоятельно за 15 часов.