Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной заданными линиями 3y^2=25x, 5x^2=9y. (График и решение). Помогите пожалуйста.

Answer 1

Даны уравнения: 3y^2=25x, 5x^2=9y.

Выразим их относительно у: y=5√x/√3,  y = 5x^2/9.

Чтобы определить границы заданной фигуры, надо приравнять правые части полученных уравнений:

5√x/√3 = 5x^2/9. Сократим на 5: √x/√3 = x^2/9. Возведём обе части в квадрат: х/3 = х^4/81 или 81х = 3x^4. Сократим на 3: 27х = x^4.

Перенесём всё влево: 27х - x^4 = 0 или х(27 - x^3) = 0.

Отсюда получаем 2 точки пересечения графиков заданных функций, которые и есть границами фигуры, площадь которой надо определить.

х = 0 и х = ∛27 = 3.

Теперь определяем площадь этой фигуры как интеграл разности:

$S=\int\limits^3_0 {\frac{5\sqrt{x} }{\sqrt{3} }-\frac{5x^2}{9}} \, dx =\frac{5x^{3/2}*2}{\sqrt{3}*3}-\frac{5x^3}{9*3} |_0^3=10-5=5.$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нам необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать функцию, представляющую расстояние между этими линиями.

1. Найдем точки пересечения заданных линий: Для этого приравняем уравнения: 3y^2 = 25x 5x^2 = 9y

Первое уравнение можно переписать в виде y^2 = (25/3)x и затем подставить во второе уравнение:

5x^2 = 9 * (25/3)x Упростим: 5x^2 = (75/3)x 5x^2 = 25x 5x^2 - 25x = 0 5x(x - 5) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = 5.

Подставим найденные значения x обратно в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 0: 3y^2 = 25 * 0 3y^2 = 0 y^2 = 0 y = 0

Для x = 5: 3y^2 = 25 * 5 3y^2 = 125 y^2 = 125 / 3 y = ±√(125 / 3) ≈ ±5.77

Таким образом, получаем три точки пересечения: (0, 0), (5, 5.77) и (5, -5.77).

2. Теперь рассчитаем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого найдем интеграл функции, представляющей расстояние между линиями в пределах x от 0 до 5.

Расстояние между линиями на участке от x до 5 составляет y2 - y1, где y1 и y2 - значения y для соответствующих x на линиях 3y^2 = 25x и 5x^2 = 9y.

Интеграл площади фигуры S вычисляется следующим образом:

S = ∫[0 to 5] (y2 - y1) dx

Теперь вычислим значения y1 и y2 в зависимости от x: Для линии 3y^2 = 25x: y1 = √(25/3)x Для линии 5x^2 = 9y: y2 = 5x^2 / 9

Теперь проинтегрируем:

S = ∫[0 to 5] (√(25/3)x - 5x^2 / 9) dx

Интегрируя, получим:

S = [(2√(25/3)x^2) - (5x^3 / 27)] [от 0 до 5] S = [2√(25/3)(5)^2 - (5(5)^3 / 27)] - [2√(25/3)(0)^2 - (5(0)^3 / 27)] S = [2√(25/3)(25) - (125 / 27)] - [0] S = (10√(25/3) - 125/27) ≈ (10 * 5√3 - 125/27) ≈ (50√3 - 125/27)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет приблизительно (50√3 - 125/27) квадратных единиц.