Question

В школе 2018 учеников,среди которых есть и мальчики, и девочки. Каждые двое из них сыграли между собой одну шахматную партию. Могло ли случиться, что партий,где мальчик играл с мальчиком, было столько же, сколько партий, где мальчик играл с девочкой ?​

Answer 1

2018:2=1009

Ответ: да

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Пусть всего в школе было N учеников (2018 учеников), и среди них m мальчиков и n девочек.

Общее количество возможных партий равно C(N, 2), где C(N, 2) - это число сочетаний из N по 2, то есть количество способов выбрать 2 ученика из N.

Количество партий, где мальчик играл с мальчиком (MM), равно C(m, 2), то есть число сочетаний из m по 2.

Количество партий, где мальчик играл с девочкой (MD), равно m * n, так как для каждого мальчика есть n девочек, с которыми он может сыграть.

Дано условие: количество партий MM равно количеству партий MD.

Математически, это можно записать так:

C(m, 2) = m * n

Теперь, давайте рассмотрим неравенство, связанное с количеством мальчиков и девочек в школе:

m + n = N

Теперь давайте подставим это в первое уравнение:

C(m, 2) = m * (N - m)

Разберем несколько случаев:

1. Если m = N/2, то уравнение превращается в:

C(N/2, 2) = (N/2) * (N/2) (N/2)(N/2 - 1) / 2 = (N^2 - 2N)/4

Здесь N^2 - 2N - N^2 + 2N = 0, так что уравнение выполняется.

2. Если m < N/2, то левая часть уравнения меньше, чем правая часть, так как C(m, 2) < m * (N - m). Это означает, что количество партий MM меньше, чем количество партий MD, и неравенство не выполняется.

3. Если m > N/2, то левая часть уравнения больше, чем правая часть, так как C(m, 2) > m * (N - m). Это означает, что количество партий MM больше, чем количество партий MD, и неравенство также не выполняется.

Таким образом, единственным способом выполнения условия задачи является случай, когда количество мальчиков m равно половине общего числа учеников N.