Question

Помогите, пожалуйста,решить методом замены! 1)(x^2-1)^2-11(x^2-1)+24=02)(x^4-5x^2)^2-2(x^4-5x^2)=24 Буду очень благодарна!

Answer 1

1) (x²-1)²-11(x²-1)+24=0

Замена: x²-1=t     t²-11t+24=0   t₁,₂=(11±√(121-96))/2=(11±5)/2   t₁=8   t₂=3

1. x²-1 =8   x²=9  x₁,₂=±3    2. x²-1=3   x²=4   x₃,₄=±2

2) (x⁴-5x²)²-2(x⁴-5x²)=24

Замена: x⁴-5x²=t     t²-2t-24=0   t₁,₂=(2±√(4+96))/2=(2±10)/2   t₁=6    t₂=-4

1. x⁴-5x²=6

Замена:  x²=y   y²-5y-6=0   y₁,₂=((5±√(25+24))/2=(5±7)/2   y₁=6   y₂=-1

x²=6   x₁,₂=±√6     x²≠-1

2. x⁴-5x²=-4

Замена: x²=y     y²-5y+4=0    y₁,₂=((5±√(25-16))/2=(5±3)/2   y₁=4   y₂=1

x²=4   x₁,₂=±2   x²=1 x₃,₄=±1

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти уравнения методом замены. Для начала решим первое уравнение:

1. $(x^2-1)^2 - 11(x^2-1) + 24 = 0$

Для удобства заменим переменную $u = x^2 - 1$, тогда уравнение примет вид:

$u^2 - 11u + 24 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться факторизацией:

$(u - 3)(u - 8) = 0$

Таким образом, у нас два уравнения:

1. $u - 3 = 0$ или 2) $u - 8 = 0$

Решим каждое из них:

1. $u - 3 = 0$
   $u = 3$

2. $u - 8 = 0$
   $u = 8$

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. $x^2 - 1 = 3$
   $x^2 = 4$
   $x = \pm 2$

2. $x^2 - 1 = 8$
   $x^2 = 9$
   $x = \pm 3$

Итак, уравнение имеет четыре решения: $x = 2, x = -2, x = 3, x = -3$.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. $(x^4-5x^2)^2 - 2(x^4-5x^2) = 24$

Также введем замену $v = x^4 - 5x^2$, и получим:

$v^2 - 2v = 24$

Теперь приведем уравнение в квадратный вид:

$v^2 - 2v - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, методом факторизации:

$(v - 6)(v + 4) = 0$

Таким образом, у нас два уравнения:

1. $v - 6 = 0$ или 2) $v + 4 = 0$

Решим каждое из них:

1. $v - 6 = 0$
   $v = 6$

2. $v + 4 = 0$
   $v = -4$

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. $x^4 - 5x^2 = 6$

Здесь, чтобы решить уравнение относительно $x^2$, мы можем ввести замену $w = x^2$:

$w^2 - 5w - 6 = 0$

Теперь снова решим квадратное уравнение:

$(w - 6)(w + 1) = 0$

Таким образом, у нас два уравнения:

1. $w - 6 = 0$ или 2) $w + 1 = 0$

Решим каждое из них:

1. $w - 6 = 0$
   $w = 6$

2. $w + 1 = 0$
   $w = -1$

Теперь найдем $x$:

1. $x^2 = 6$
   $x = \pm \sqrt{6}$

2. $x^2 = -1$
   Такое уравнение не имеет решений в вещественных числах.

Таким образом, у второго уравнения есть два решения: $x = \sqrt{6}$ и $x = -\sqrt{6}$.