Question

Найти неопределённый интеграл dx/(x*(√2x-9))

Answer 1

Решение во вложении.Надеюсь все понятно, решал методом замены переменной.

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы можем сделать замену переменных, чтобы упростить интегрирование. Для этого давайте проведем замену:

Пусть u = √(2x - 9).

Тогда, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

u^2 = 2x - 9.

Теперь продифференцируем обе части по переменной x:

(du/dx) * (du/dx) = 2.

Теперь найдем производную du/dx:

du/dx = 1 / (√2).

Теперь мы можем выразить dx через du:

dx = (√2) * du.

Теперь подставим наши замены в исходный интеграл:

∫(dx / (x * (√2x - 9))) = ∫((√2 * du) / ((√(2x - 9)) * x)).

Теперь можем вынести константу (√2) за знак интеграла:

∫((√2 * du) / ((√(2x - 9)) * x)) = √2 * ∫(du / (u * (√2 * (u^2 + 9)))).

Теперь разделим наш интеграл на два отдельных интеграла:

√2 * ∫(du / (u * (√2 * (u^2 + 9)))) = (√2 / (√2 * 9)) * ∫(du / (u * (1 + (u^2 / 9)))).

Сократим √2 на верхнем и нижнем слагаемом:

(√2 / (√2 * 9)) * ∫(du / (u * (1 + (u^2 / 9)))) = (1 / 9) * ∫(du / (u * (1 + (u^2 / 9)))).

Теперь произведем следующую замену:

v = u^2 / 9.

Тогда, dv = (2/9) * u * du.

Мы можем увидеть, что в нашем интеграле имеется u * du, что идентично dv/2. Поэтому, заменим u * du на (2/9) * dv:

(1 / 9) * ∫(du / (u * (1 + (u^2 / 9)))) = (1 / 9) * ∫(dv / (2 * (1 + v))).

Теперь интегрируем по переменной v:

(1 / 9) * ∫(dv / (2 * (1 + v))) = (1 / 18) * ln|1 + v| + C.

Теперь восстановим v в выражении:

(1 / 18) * ln|1 + v| + C = (1 / 18) * ln|1 + (u^2 / 9)| + C.

И, наконец, вернемся к исходной переменной x, используя u = √(2x - 9):

(1 / 18) * ln|1 + (√(2x - 9)^2 / 9)| + C = (1 / 18) * ln|1 + (2x - 9) / 9| + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(dx / (x * (√2x - 9))) = (1 / 18) * ln|1 + (2x - 9) / 9| + C.