Question

Математическая Индукция Доказать, что при любом при котором 5 | ()5 делит утверждение ( | ) - знак обозначающий деление

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(3^(4k)+4)  делится на 5 (1)

1) при к=0

3⁰+4=1+4=5 делится на 5

при k=1

3⁴+1=81+4=85 делится на 5   ⇒ (1) верно для k=1

2) предположим что утверждение (1) верно для к=n

(3^(4n)+4) делится на 5

признак делимости на 5 - если число оканчивается на 5 или 0 то оно делится на 5

так как по предположению  (3^(4k)+4) делится на 5 то оно оканчивается на 0 или 5     (2)

⇒  3^(4k) оканчивается на 6 или 1  (3)  

так как к нему прибавляется 4 и сумма  должна быть 0 или 5

3) при к=n+1

3^(4k)+4=3^(4n+1)+4=(3^(4n))*3⁴+4=(3^(4n))*81+4 так как у числа 81 последняя цифра 1 то  (3^(4n))*81 оканчивается на ту же цифру что и  (3^(4n)) то есть на 6 или 1        (см. (3))

а значит (3^(4n))*81 +4 оканчивается на 0 или 5 ⇒  (3^(4n))*81 +4 делится на 5

3) доказано что (1) верно при k=0, k=1 и из предположения верности утверждения (1) для k=n следует верность утверждения (1) для k=n+1 ⇒ по принципу математической индукции (1) верно для всех к∈N и к=0

-------------------------------------------------

пока писал на ум пришел более легкий вариант

3^4=81 заканчивается на 1 значит 3^4+4 заканчивается на 5 и делится на 5

3^4k=(3^4)^k тоже заканчивается на 1 так как число заканчивающееся на 1 в любой степени будет заканчиваться на 1  а значит (3^4)^k+4 заканчивается на 5 и делится на 5 . правда в этом варианте нет мат. индукции

Answer 2

Для доказательства данного утверждения с использованием математической индукции, нужно выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Доказать, что утверждение верно для начального значения n.
2. Индукционный шаг: Предположить, что утверждение верно для некоторого значения k и доказать, что оно также верно для значения k + 5.

Давайте начнем.

1. Базовый шаг: Пусть n = 5, тогда (n | 5) означает (5 | 5), что равно 1, так как 5 делится на 5 без остатка. Таким образом, утверждение верно для n = 5.

2. Индукционный шаг: Предположим, что утверждение верно для некоторого значения k. То есть предположим, что (k | 5) = 1.

Теперь докажем, что утверждение также верно для k + 5. То есть, нам нужно показать, что ((k + 5) | 5) = 1.

Мы знаем, что (k | 5) = 1, это значит, что существует такое целое число m, что k = 5m.

Теперь рассмотрим выражение ((k + 5) | 5):

((k + 5) | 5) = ((5m + 5) | 5) = (5(m + 1) | 5).

Мы видим, что (5(m + 1) | 5) тоже равно 1, так как 5(m + 1) делится на 5 без остатка.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно также верно для k + 5.

Таким образом, с использованием математической индукции мы доказали, что при любом n, кратном 5, выполняется утверждение (n | 5) = 1.