Question

Найти все пары значений a и b, при которых многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x): f(x)=x^3+ax^2+bx+2b, g(x)=x^2+x+1.

Answer 1

Решение во вложении.

___________________

Answer 2

Чтобы определить, при каких значениях a и b многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x), нужно проверить, что остаток от деления f(x) на g(x) равен нулю. Остаток от деления можно найти с помощью алгоритма деления многочленов.

Для начала, разделим f(x) на g(x) и уравняем остаток в нуль:

scssCopy code
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2b
g(x) = x^2 + x + 1

Деление:
        x + (a - 1)
_________________________
x^2 + x + 1 | x^3 + ax^2 + bx + 2b
  - (x^3 + x^2 + x)
  _________________
               ax^2 + (b - 1)x + 2b
          - (ax^2 + ax + a)
          _________________
                          (b - a + 1)x + 2b - a
                    - ((b - a + 1)x + (b - a + 1))
                    __________________________
                                                3(b - a + 1)

Остаток от деления равен 3(b - a + 1). Чтобы многочлен f(x) делился нацело на g(x), остаток должен быть равен нулю, то есть:

3(b - a + 1) = 0

Теперь решим уравнение:

b - a + 1 = 0 b - a = -1 b = a - 1

Таким образом, все пары значений a и b, при которых многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x), задаются выражением b = a - 1. Это означает, что b может быть любым целым числом, если a принимает значение на единицу больше b. Например:

• a = 1, b = 0
• a = 2, b = 1
• a = 3, b = 2

И так далее. Таким образом, существует бесконечное множество пар значений a и b, при которых многочлен f(x) делится нацело на многочлен g(x).