Question

Помогите решить уравнение!!! sin2x+sin8x=cos3x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

sin2x + sin8x=cos3x

По формуле суммы синусов:

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Т.е. sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

Останется 2sin5x*cos3x = cos3x

Переносим всё влево 2sin5x*cos3x - cos3x = 0

Выносим общий множитель cos3x(2sin5x - 1) = 0

Это выражение будет равно нулю, если один из его множителей равен нулю, рассмотрим два простейших тригонометрических уравнения:

cos3x = 0 и 2sin5x - 1 =0

Частный случай cos3x = 0

Получится 3x = π/2 + πn, где n ∈ Z (целым числам)

Разделим на 3, чтобы справа остался только x

x = π/6 +πn/3 - это часть ответа

Далее 2sin5x - 1 = 0

2sin5x = 1

sin5x = 1/2

5x = (-1)^m * π/6 + πm, m ∈ Z

x = (-1)^m * π/30 + πm/5 - вторая часть ответа

Ответ: x = (-1)^m * π/30 +πm/5 и x = π/6 + πn/3

Объединить корни не получится

Answer 2

Давайте решим уравнение sin(2x) + sin(8x) = cos(3x). Для этого используем тригонометрические тождества и методы решения уравнений.

1. Преобразуем выражение sin(2x) + sin(8x) в одно синусоидальное выражение. Мы знаем, что sin(2A) + sin(2B) = 2 * sin((A+B)/2) * cos((A-B)/2). Применяем это тождество к нашему уравнению:

sin(2x) + sin(8x) = 2 * sin((2x + 8x)/2) * cos((2x - 8x)/2) = 2 * sin(5x) * cos(-3x) = 2 * sin(5x) * cos(3x).

Теперь у нас есть уравнение 2 * sin(5x) * cos(3x) = cos(3x).

2. Теперь поделим обе части уравнения на cos(3x) (предполагаем, что cos(3x) не равно нулю, иначе мы бы имели деление на ноль, что недопустимо):

2 * sin(5x) = 1.

3. Теперь избавимся от умножения на 2, разделив обе части уравнения на 2:

sin(5x) = 1/2.

4. Чтобы решить уравнение sin(5x) = 1/2, найдем все значения x, удовлетворяющие этому условию, в диапазоне 0° ≤ x < 360° (или 0 ≤ x < 2π радиан):

Для этого мы знаем значения синуса 30° и 150° (или π/6 и 5π/6 радиан):

sin(30°) = 1/2 --> 5x = 30° --> x = 6°, sin(150°) = 1/2 --> 5x = 150° --> x = 30°.

Получаем два значения x: x = 6° и x = 30°. Если вам нужны значения в радианах, то x = π/30 и x = π/6.

5. Так как синусовая функция имеет период 360° (или 2π радиан), то все углы, отличающиеся на кратное 360° (или 2π радиан), также будут являться решениями уравнения. Это значит, что решениями уравнения будут все углы вида:

x = 6° + 360° * n, где n - целое число, или x = 30° + 360° * n, где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений в указанном диапазоне.