Question

Преобразить тригонометрическое выражение: (cos(a)*tg(a))'2+(sin(a)*ctg(a))'2=?

Answer 1

$( { \cos\alpha \times tg \alpha ) }^{2} + ( { \sin\alpha \times ctg \alpha ) }^{2} = \\ ( {cos \alpha \times \frac{sin \alpha }{cos \alpha } )}^{2} + ( {sin \alpha \times \frac{cos \alpha }{sin \alpha } )}^{2} = \\ sin {}^{2} \alpha + {cos}^{2} \alpha = 1$

Answer 2

Для преобразования данного тригонометрического выражения, начнем с вычисления производных функций в нем. Затем мы возведем каждое слагаемое в квадрат и объединим их в итоговое выражение. Давайте начнем:

Дано: $f(a) = (\cos(a) \cdot \tan(a))^2 + (\sin(a) \cdot \cot(a))^2$

Для удобства применим следующие тригонометрические тождества: $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \quad \text{и} \quad \cot(a) = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}$

Теперь вычислим производные:

1. $\frac{d}{da} (\cos(a) \cdot \tan(a))^2$: Применим правило производной произведения: $\frac{d}{da} (\cos(a) \cdot \tan(a))^2 = 2 \cdot (\cos(a) \cdot \tan(a)) \cdot (\cos(a) \cdot \sec^2(a))$

2. $\frac{d}{da} (\sin(a) \cdot \cot(a))^2$: Применим правило производной произведения: $\frac{d}{da} (\sin(a) \cdot \cot(a))^2 = 2 \cdot (\sin(a) \cdot \cot(a)) \cdot (-\sin(a) \cdot \csc^2(a))$

Теперь объединим производные в итоговом выражении:

(\cos(a) \cdot \tan(a))'2 + (\sin(a) \cdot \cot(a))'2 &= (2 \cdot (\cos(a) \cdot \tan(a)) \cdot (\cos(a) \cdot \sec^2(a)))^2 \\ &\quad + (2 \cdot (\sin(a) \cdot \cot(a)) \cdot (-\sin(a) \cdot \csc^2(a)))^2 \\ &= (2 \cos^2(a) \cdot \sec^2(a) \cdot \sin(a))^2 + (2 \sin^2(a) \cdot \csc^2(a) \cdot \cos(a))^2 \\ &= 4 \cos^4(a) \cdot \sin^2(a) \cdot \sec^4(a) + 4 \sin^4(a) \cdot \cos^2(a) \cdot \csc^4(a) \end{aligned} \] После преобразований, полученное выражение \( 4 \cos^4(a) \cdot \sin^2(a) \cdot \sec^4(a) + 4 \sin^4(a) \cdot \cos^2(a) \cdot \csc^4(a) \) является окончательным результатом.