Question

Имеется задача:Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р.Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? Вот решение:Обозначим стороны прямоугольника за х и у. Радиус полукруга R = x/2 Периметр окна Р = 2y+x+пи*R = 2y+x+пи*х/2 =2y+x(1+пи/2) Выразим y y = P/2-x(1/2+пи/4) Площадь окна S = x*y + пиR^2/2 =x*y+пи*(x/2)^2/2 = x*y+пи*x^2/8 Подставим y S = x*(P/2-x(1/2+пи/4)) +пи*x^2/8 = (P/2)*x -x^2(1/2+пи/4-пи/8) =(P/2)*x-x^2(1/2 +пи/8) Находим максимум этой функции по х Производная S' = P/2-x(1+пи/4) приравниваем к нулю P/2-x(1+пи/4) = 0 x(1+пи/4) = P/2 x = P/(2+пи/2) =2P/(4+пи) у = P/2-x(1/2+пи/4) =P/2- 2P(1/2+пи/4)/(4+пи) =P/2 -P(1+пи/2)/(4+пи) = =P(4+пи-2-пи)/(2*(4+пи)) = P/(4+пи) Нужно доказательство

Answer 1

Ну, собственно, вы сами все и доказали.

x = 2P/(4+Пи) - ширина окна.

y = P/(4+Пи) - высота окна.

Высота окна должна быть в 2 раза меньше ширины.

Answer 2

Доказательство:

Для определения максимального количества света, проходящего через окно, мы должны найти значения х и у, которые максимизируют площадь окна S.

Начнем с выражения для S, которое мы получили:

S = x*(P/2 - x*(1/2 + π/8))

Для того чтобы найти максимум функции S относительно x, мы должны приравнять производную S по x к нулю и решить уравнение:

dS/dx = P/2 - (1/2 + π/8) * 2x = 0

P/2 - x(1 + π/4) = 0

x(1 + π/4) = P/2

x = P/(2 + π/4)

x = P/(2 + π/2) (так как π/4 = π/2)

Теперь, чтобы найти значение у, подставим найденное значение x обратно в уравнение для у:

y = P/2 - x*(1/2 + π/4)

y = P/2 - (P/(2 + π/2)) * (1/2 + π/4)

y = P/2 - (P/(2 + π/2)) * (2/4 + π/4)

y = P/2 - (P/(2 + π/2)) * (2 + π)/(4)

y = P/2 - P * (2 + π)/(4 * (2 + π))

y = P/2 - P * (2 + π)/(8 + 4π)

Теперь, для того чтобы упростить выражение, домножим числитель и знаменатель на 2:

y = 2P/4 - 2P * (2 + π)/(8 + 4π)

y = (2P - 2P * (2 + π))/(8 + 4π)

y = (2P - 4P - 2Pπ)/(8 + 4π)

y = (-2P * (1 + π))/(4 * (2 + π))

y = -P * (1 + π)/(2 + π)

Таким образом, полученные значения x и y, которые максимизируют количество света, проходящего через окно, равны:

x = P/(2 + π/2)

y = -P * (1 + π)/(2 + π)

Подставив эти значения в выражение для S, можно получить максимальную площадь окна, пропускающего наибольшее количество света.