Question

Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р.Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Answer 1

 При заданном периметре следует найти наибольшую площадь проема окна. 

Прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре - квадрат. Следовательно, окно должно иметь проем в виде квадрата с добавлением полукруга. 

Радиус этого полукруга r,
сторона а квадрата =D=2r.
Периметр оконного проема равен сумме трех сторон квадрата плюс длина полуокружности ( полукруга, венчающего оконный проем).
Р=πr+6r=r(π+6)=≈ 9,14r
Таким образом, размеры окна:
r= ≈P:9,14
сторона квадрата a=2r
a= ≈Р:4,57

Answer 2

Обозначим стороны прямоугольника за х и у.

Радиус полукруга R = x/2

Периметр окна

Р = 2y+x+пи*R = 2y+x+пи*х/2 =2y+x(1+пи/2)

Выразим y

 y = P/2-x(1/2+пи/4)

Площадь окна

S = x*y + пиR^2/2 =x*y+пи*(x/2)^2/2 = x*y+пи*x^2/8

Подставим y

S = x*(P/2-x(1/2+пи/4)) +пи*x^2/8 = (P/2)*x -x^2(1/2+пи/4-пи/8) =(P/2)*x-x^2(1/2 +пи/8)

Находим максимум этой функции по х

Производная

S' = P/2-x(1+пи/4)

приравниваем к нулю

   P/2-x(1+пи/4) = 0

   x(1+пи/4) = P/2

   x = P/(2+пи/2) =2P/(4+пи)

   у =  P/2-x(1/2+пи/4) =P/2- 2P(1/2+пи/4)/(4+пи) =P/2 -P(1+пи/2)/(4+пи) =

=P(4+пи-2-пи)/(2*(4+пи)) = P/(4+пи)