Question

Фирма производит от 0 до 60 керамических ваз в день. Прибыль в рублях задаётся функцией B(x)=-x²+60x-500, где x-число ваз. найдите число изготовляемых ваз, наиболее выгодное для продажи.

Answer 1

Функция прибыли является параболой с ветвями вниз. Чтобы найти максимальную прибыль, надо найти её экстремум.

Для этого возьмём производную:

$B'(x) = - 2x + 60$

В экстремуме функции её производная равна нулю. Приравняем производную к нулю.

$- 2x + 60 = 0 \\ x = 30$

Мы знаем, что в этой точке будет максимум функции, потому что графиком B(х) является парабола с ветвями вниз.

Значит, при выпуске в день 30 ваз прибыль будет максимальная

Answer 2

Для определения числа изготовляемых ваз, наиболее выгодного для продажи, нужно найти значение переменной "x" (число ваз), при котором функция прибыли B(x) достигает максимума.

Для этого применим метод дифференцирования функции B(x) по переменной x и приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

B(x) = -x² + 60x - 500

B'(x) = d/dx(-x² + 60x - 500) B'(x) = -2x + 60

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

-2x + 60 = 0 -2x = -60 x = 30

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 30, которая соответствует значению числа ваз, при котором прибыль максимальна.

Чтобы убедиться, что это действительно точка максимума, а не минимума, нужно проанализировать значение второй производной B''(x):

B''(x) = d²/dx²(-x² + 60x - 500) B''(x) = -2

Значение второй производной постоянно отрицательно (-2), что подтверждает, что x = 30 является точкой максимума.

Таким образом, число ваз, наиболее выгодное для продажи и приносящее максимальную прибыль, равно 30.