Question

Составьте квадратное уравнение,корнями которого являются числа х1=√5-√3 и х2=√5+√3

Answer 1

$ax^2+bx+c=0\; \; \Rightarrow \; \; \; ax^2+bx+c=a\, (x-x_1)(x-x_2)\\\\\\x_1=\sqrt5-\sqrt3\; \; ,\; \; x_2=\sqrt5+\sqrt3\\\\\\\Big (x-(\sqrt5-\sqrt3)\Big )\Big (x-(\sqrt5+\sqrt3)\Big )=\\\\=x^2-(\sqrt5+\sqrt3)x-(\sqrt5-\sqrt3)x+(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)=\\\\=x^2-(\sqrt5-\sqrt3+\sqrt5+\sqrt3)x+(5-3)=x^2-2\sqrt5x+2\\\\\\x^2-2\sqrt5x+2=0$

Answer 2

Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями, нужно использовать их свойство, что они являются корнями уравнения, если подставить их вместо переменной x.

Для заданных корней х1 = √5 - √3 и х2 = √5 + √3, квадратное уравнение будет иметь следующий вид:

Уравнение: (x - х1)(x - х2) = 0

Подставим значения х1 и х2:

(x - (√5 - √3))(x - (√5 + √3)) = 0

Теперь выполним умножение и приведение подобных:

(x - √5 + √3)(x - √5 - √3) = 0

Раскроем скобки:

x^2 - √5x - √3x - √5√3 = 0

Теперь объединим коэффициенты при переменных x:

x^2 - (√5 + √3)x - √15 = 0

Итак, получили квадратное уравнение:

x^2 - (√5 + √3)x - √15 = 0

Это уравнение имеет корнями числа х1 = √5 - √3 и х2 = √5 + √3.