Question

Помогите пожалуйста решить На доски написано число Дима играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 4060 и записать полученные результаты, стерев предыдущие число. Может ли Дима, действуя таким образом, в конце концов получить один? Если да, покажите как; если нет, объясните почему.

Answer 1

Ответ:

Как минимум, при числе на доске равном 5940 в конце концов 1 получить можно. Значит да, такая возможность имеется, хотя это и зависит от изначально записанного числа.

Пошаговое объяснение:

Если написанное на доске число это 5940, то прибавив к этому числу 4060, получим 10000. Последовательно 4 раза удаляя последнюю цифру из 10000, получим 1.

Answer 2

Для решения этой задачи важно заметить две важные характеристики:

1. Прибавление числа 4060 к числу не меняет последней цифры числа. Например: 123 + 4060 = 4183 418 + 4060 = 4478 15 + 4060 = 4075

2. Любое число, заканчивающееся на 1, не может быть получено из других чисел. При стирании последней цифры числа, заканчивающегося на 1, результат также будет заканчиваться на 1. Например: 111 -> 11 -> 1 321 -> 32 -> 3 41 -> 4 -> 4

Теперь, если Дима начинает с числа, заканчивающегося на 1, то он будет получать только числа, заканчивающиеся на 1, и никогда не достигнет числа, заканчивающегося на 0. Таким образом, Дима не сможет получить число 1, используя описанные операции.

Например, если он начинает с числа 1, его последовательность будет следующей: 1 -> 4061 -> 8121 -> 12181 -> 16241 -> ...

Все числа в этой последовательности заканчиваются на 1, но никогда не становятся равными 1.

Точно так же, любое число, заканчивающееся на 0, останется на конце своей последовательности, так как прибавление 4060 не меняет последней цифры.

Таким образом, Дима никогда не сможет получить число 1, вне зависимости от того, с какого числа он начнет.