Question

на доске написано число.Олег играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа,либо прибавить к написанному числу , либо прибавить к написанному числу 2018 и записать полученный результат ,стерев предыдущее число.Может ли Олег действуя таким образом, в конце концов получить число 1? Если да,то покажи как,если не, объясните почему?

Answer 1

Можно. Сначала стираем все цифры, кроме первой. Первая цифра может быть любой, от 1 до 9. Обозначим его а. После этого прибавляем 5 раз по 2018 и получаем...10090+а. Теперь опять стираем 4 последние цифры и получаем 1

Answer 2

Да, Олег может получить число 1, действуя таким образом.

Назовем исходное число, написанное на доске, "начальным числом". Заметим, что прибавление 2018 к числу не влияет на остаток числа при делении на 10. То есть, если начальное число оканчивается на цифру x, то результат прибавления 2018 к нему будет оканчиваться на цифру (x+8) при делении на 10.

Рассмотрим следующий алгоритм, позволяющий получить число 1:

1. Если начальное число уже равно 1, то Олег уже достиг желаемого результата и заканчивает игру.
2. Если начальное число оканчивается на цифру от 0 до 7, Олег стирает последнюю цифру числа.
3. Если начальное число оканчивается на цифру 8 или 9, Олег прибавляет 2018 к числу и стирает предыдущее число.

Повторяя этот алгоритм, мы в конце концов получим число 1. Действительно, при каждой итерации число уменьшается (если мы стираем цифру) или увеличивается на 2018, что не влияет на его остаток при делении на 10. Таким образом, если начальное число не равно 1, то мы в конечном итоге достигнем числа, оканчивающегося на 1, после чего можем стереть последнюю цифру и получить число, оканчивающееся на 0. Затем мы повторяем алгоритм и снова получаем число, оканчивающееся на 1, и т.д., пока не достигнем числа 1.