Question

На доске написано число.Олег играет в арифметическую игру:он может либо стереть последнюю цифру написанного числа,либо прибавить к написанному числу число 2018 и записать полученный результат,стерев предыдущее число.Может ли Олег,действуя таким образом,в конце концов получить число 1?Если да,покажите как,если нет,объясните почему. Помогите!

Answer 1

Каково бы ни было первоначальное число, добавляя к нему достаточное количество раз 2018, мы можем добиться того, чтобы первой цифрой числа  стала 1. А затем нужно стереть все цифры кроме первой.

Если утверждение про то, как сделать первую цифру единицей, кажется не вполне очевидным, предлагается следующий механизм. Можно сначала стереть все цифры (а если это считается неэтичным - ведь тогда не понятно, к чему добавлять 2018 -стереть все, кроме одной, двух или трех по желанию), а затем пять раз добавить 2018 - в результате добавится 10090, причем одно или двух или трехзначное число не сумеет испоганить первую единицу.

Answer 2

Да, Олег может получить число 1, действуя таким образом.

Рассмотрим процесс, который происходит с числом на доске после каждого действия Олега. Обозначим через $n_i$ число, написанное на доске после $i$-го действия Олега.

Если Олег стирает последнюю цифру числа $n_i$, то получаем число $\lfloor \frac{n_i}{10} \rfloor$. Если же он прибавляет 2018, то получаем число $n_i + 2018 - 10^k$, где $k$ — количество цифр в числе $2018$. В этом случае мы можем стереть последние $k$ цифр полученного числа.

Заметим, что в любой момент времени число на доске имеет вид $n_i = a \cdot 10^k + b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, $k$ — некоторое неотрицательное целое число. Таким образом, мы можем рассматривать $a$ и $b$ как две отдельные переменные.

Рассмотрим два случая.

1. $a \geq 3$. Тогда при стирании последней цифры число $a \cdot 10^k + b$ станет меньше, чем $\frac{a}{2} \cdot 10^k + b$, а при прибавлении 2018 число станет больше, чем $3 \cdot 10^k + b$. Таким образом, мы можем перейти к числу $\frac{a}{2} \cdot 10^k + b$ и продолжить игру оттуда.

2. $a \leq 2$. В этом случае при прибавлении 2018 число на доске станет больше, чем $3 \cdot 10^k + b$, поэтому мы можем перейти к числу $3 \cdot 10^k + b$ и продолжить игру оттуда.

Таким образом, мы можем продолжать игру, пока не получим число, в котором $a=1$ или $a=2$ и $b \leq 2018$. Если $b=1$, то мы выиграли. Если же $b > 1$, то мы можем перейти к числу $a \cdot 10^k + (b-2018)$ и продолжить игру оттуда. Это не изменит того факта, что мы рано или поздно получим число 1.

Итак, Олег может получить число 1, действуя таким образом.