Question

Y=(2x-1)/(x-1)^2 исследовать функцию с помощью производной и построить график функции

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Область определения функции. Точки разрыва функции.  

2) Четность или нечетность функции.  

Функция общего вида  

3) Периодичность функции.  

4) Точки пересечения кривой с осями координат.  

Пересечение с осью 0Y  

x=0, y=-1  

Пересечение с осью 0X  

y=0  

5) Исследование на экстремум.  

y = (2*x-1)/(x-1)^2  

Найдем точки разрыва функции.  

x1 = 1  

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.  

или  

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю  

x = 0  

Откуда:  

x1 = 0

Answer 2

Для исследования функции Y=(2x-1)/(x-1)^2 сначала найдем ее производную, затем определим интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x: Y = (2x - 1)/(x - 1)^2

Для упрощения производной, воспользуемся правилом частной производной и правилом дифференцирования сложной функции (цепное правило):

d/dx (u/v) = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2

где u = 2x - 1 и v = (x - 1)^2.

Теперь возьмем производные u и v по переменной x:

du/dx = d/dx (2x - 1) = 2

dv/dx = d/dx ((x - 1)^2) = 2 * (x - 1)

Теперь найдем производную Y по переменной x:

dY/dx = [(v * du/dx - u * dv/dx) / v^2] = [( (x - 1)^2 * 2 - (2x - 1) * 2 * (x - 1) ) / (x - 1)^4]

dY/dx = [ (2(x - 1)^2 - 2(2x - 1)(x - 1) ) / (x - 1)^4]

dY/dx = [ (2(x^2 - 2x + 1) - 2(2x^2 - 3x + 1) ) / (x - 1)^4]

dY/dx = [ (2x^2 - 4x + 2 - 4x^2 + 6x - 2) / (x - 1)^4]

dY/dx = [ (-2x^2 + 2x) / (x - 1)^4]

Шаг 2: Определим точки, где производная равна нулю, чтобы найти точки экстремума и точки перегиба.

Для этого приравняем dY/dx к нулю и решим уравнение:

(-2x^2 + 2x) / (x - 1)^4 = 0

Так как знаменатель (x - 1)^4 никогда не равен нулю, у нас есть только одно решение:

-2x^2 + 2x = 0

2x(1 - x) = 0

x = 0 или x = 1

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания, а также интервалы выпуклости и вогнутости, используя производную.

Для этого построим таблицу знаков производной dY/dx:

|x < 0 | 0 < x < 1 | 1 < x | |------+---------+------| | dY/dx| + | - | + |

Таким образом, на интервале (-∞, 0) функция возрастает, на интервале (0, 1) убывает, а на интервале (1, ∞) снова возрастает.

Теперь найдем производную второго порядка, чтобы определить выпуклость и вогнутость функции:

d^2Y/dx^2 = d/dx (dY/dx) = d/dx [ (-2x^2 + 2x) / (x - 1)^4 ]

d^2Y/dx^2 = [d/dx (-2x^2 + 2x)] / (x - 1)^4

d^2Y/dx^2 = [-4x + 2] / (x - 1)^4

Шаг 4: Определим точки перегиба, приравняв d^2Y/dx^2 к нулю:

[-4x + 2] / (x - 1)^4 = 0

-4x + 2 = 0

x = 0.5

Шаг 5: Нарисуем график функции Y=(2x-1)/(x-1)^2, используя полученные результаты.

Теперь у нас есть всё, чтобы нарисовать график функции. Однако, без явных численных значений, я не могу точно построить график. Но вы можете использовать эти результаты и программы для построения графиков, такие как Excel, GeoGebra или Python с библиотекой Matplotlib, чтобы получить график функции Y=(2x-1)/(x-1)^2 на интересующем вас интервале.