Question

Исследовать функцию и построить график у=1/3х-х^2-3х+9

Answer 1

Дано:  y(x) = - x² - 3x + 9 + 1/3*х⁻¹

Исследование.

1. Область определения: Член 1/(3х) - деление на 0

х ≠ 0  D(y)= X∈(-∞;0)∪(0ж+∞).

2. Вертикальная асимптота.  

$\lim_{x \to \00-0} y(x)=-oo, \lim_{x \to \00+0} y(x)=+oo$

Разрыв II-го рода.   X=0 - вертикальная асимптота.

3. Наклонная асимптота (горизонтальная):

k = lim(+∞)Y(x)/x = ∞  - асимптот - нет.  

4. Пересечение с осями координат.

Пересечение с осью ОХ - нули функции,

Погрешность расчёта будет незначительной если пренебречь четвёртым членом разложения функции. Тогда получим квадратное уравнение:

- x² - 3x +9 = 0,  D = 45, √45 = 3√5 и два корня: х ≈ - 4,9,  х ≈ 1,9

При полном решении получаем три  нуля функции

x₁ = -4,8438, x₂ = -0.036596 и x₃ = 1,8804 - (без расчёта).

Пересечения с осью ОУ  - нет.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;х₁]∪[x₂;0)∪[x₃;+∞).

Положительна: Y>0 - X∈(x₁;x₂]∪(0;x₃] .    

6. Проверка на чётность.  Функция общего вида.

7. Поиск экстремумов по первой производной.        

y'(x) = - 1/(3*x²) - 2*x - 3 =  = -6*x³ -9*x² - 1  = 0.    

Точка экстремума : x₄ ≈ - 1,5678  

8. Локальные экстремумы.

Максимум: y(x₄) ≈ 11,033.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;x₄].  

Убывает: X∈[x₄;0)∪(0;+∞).  

10. Поиск перегибов по второй производной.

y"(x) = (-6*x³+2)/(3*x³) =0

Корень уравнения: x₅ = (3²/³)/3  ≈ 2.08/3 =0.7

11. Поведение.

Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;0) ∪[x₅;+∞)

Вогнутая - "ложка"- X∈(0;x₅].

12. Область значений - E(y):  y∈(-∞;+∞).      

13. График функции на рисунке в приложении.    

Дополнительно описание:

Смещенная отрицательная парабола с разрывов II-го рода при Х = 0. График в более крупном масштабе на рисунке в приложении.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию и построить её график, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производные функции и точки экстремума.

3. Найдем точку пересечения с осями координат.

4. Изучим поведение функции на интервалах.

5. Построим график функции.

6. Область определения функции: Функция y = (1/3)x - x^2 - 3x + 9 не имеет никаких ограничений на x, поэтому областью определения будет весьма числовая прямая: (-∞, +∞).

7. Производные функции и точки экстремума: Вычислим производную функции y по x:

y' = d/dx (1/3)x - x^2 - 3x + 9 = 1/3 - 2x - 3

Для найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

1/3 - 2x - 3 = 0 2x = 1/3 - 3 2x = -8/3 x = -4/3

Теперь найдем значение y в этой точке:

y = (1/3)(-4/3) - (-4/3)^2 - 3(-4/3) + 9 y = -4/9 - 16/9 + 12/3 + 9 y = -20/9 + 36/9 + 9 y = 25/9

Таким образом, у нас есть точка экстремума (-4/3, 25/9).

3. Точки пересечения с осями координат: Для найти точку пересечения с осью y, приравняем x к нулю:

y = (1/3)(0) - (0)^2 - 3(0) + 9 y = 9

Таким образом, у нас есть точка пересечения с осью y: (0, 9).

Чтобы найти точки пересечения с осью x, приравняем y к нулю и решим уравнение:

(1/3)x - x^2 - 3x + 9 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать факторизацию или квадратное уравнение. Воспользуемся квадратным уравнением:

D = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 4(-1)(9) = 1 + 36 = 37

Так как дискриминант D положителен, у нас есть два действительных корня:

x = (-b ± √D) / 2a x = (1 ± √37) / -2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью x:

x₁ = (1 + √37) / -2 ≈ -2.697 x₂ = (1 - √37) / -2 ≈ 3.030

4. Поведение функции на интервалах: Теперь изучим поведение функции на интервалах, ограниченных найденными точками экстремума и точками пересечения с осями координат:

a) Когда x < -4/3: В данном интервале производная y' положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

b) Когда -4/3 < x < (1 + √37) / -2: В данном интервале производная y' отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.

c) Когда (1 + √37) / -2 < x < (1 - √37) / -2: В данном интервале производная y' снова положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

d) Когда (1 - √37) / -2 < x < -2/3: В данном интервале производная y' снова отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.

e) Когда x > -2/3: В данном интервале производная y' положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

5. Построение графика функции: Теперь построим график функции y = (1/3)x - x^2 - 3x + 9, используя полученные знания.

(Вставка графика)