Question

Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет делиться на 9?​

Answer 1

21-12=9, 9 делится на 9

83-38=45, 45 делится на 9

94-49=45, 45 делится на 9

Ответ: верно

Answer 2

Да, это утверждение верно. Если вы запишете цифры любого целого числа в обратном порядке и образуете новое число, то разность между исходным числом и новым числом всегда будет делиться на 9.

Давайте рассмотрим, почему это так:

Пусть у нас есть целое число N с цифрами a, b, c, ..., z, записанными в обратном порядке. Это число можно представить как:

N = 10^(n-1) * a + 10^(n-2) * b + ... + 10^1 * y + 10^0 * z

Где n - количество цифр в числе N.

Теперь давайте запишем это число в обратном порядке:

M = 10^(n-1) * z + 10^(n-2) * y + ... + 10^1 * b + 10^0 * a

Теперь найдем разность между исходным числом и новым числом:

N - M = (10^(n-1) * a + 10^(n-2) * b + ... + 10^1 * y + 10^0 * z) - (10^(n-1) * z + 10^(n-2) * y + ... + 10^1 * b + 10^0 * a)

Применим свойство факторизации и вынесем общий множитель 10^i из каждой пары скобок:

N - M = 10^(n-1) * (a - z) + 10^(n-2) * (b - y) + ... + 10^1 * (y - b) + 10^0 * (z - a)

Теперь заметим, что каждый из коэффициентов в скобках представляет разность между цифрами исходного числа и нового числа в позициях единиц, десятков, сотен и т.д. Очевидно, что эти разности могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Однако, заметим также, что все разности, кроме возможно первой (a - z), будут кратны 9. Это происходит потому, что любые две одинаковые цифры, записанные в обратном порядке, дают разность, которая кратна 9:

(0 - 0) = 0 (кратно 9) (1 - 1) = 0 (кратно 9) ... (8 - 8) = 0 (кратно 9)

А также, разности между соответствующими парами цифр, которые образуют 9, дадут:

(9 - 0) = 9 (кратно 9) (8 - 1) = 7 (кратно 9) (7 - 2) = 5 (кратно 9) ... (1 - 8) = -7 (кратно 9) (0 - 9) = -9 (кратно 9)

Таким образом, первая разность (a - z) может быть как кратна 9, так и не кратна 9, но все остальные разности будут кратны 9.

Вывод: Разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, всегда будет кратна 9.