Question

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ + БАЛЛЫ Найдите остаток от делении суммы 4^{2002} +6^{2002} на 25 ? ВАРИАНТЫ: A)4 B)18 C)12 D)24 E)2

Answer 1

φ(25)=20.   φ(n) - функция Ейлера

4 взаимно просто с 25

6 взаимно просто с 25

Из теоремы Ейлера:

4^(20) дает остаток 1 на 25

6^(20) дает остаток 1 на 25

Возведем в степень 100:

4^(2000) дает остаток 1 на 25

6^(2000) дает остаток 1 на 25

Умножим первое равенство на 16:

4^(2002) дает остаток 16 на 25

Умножим второе равенство на 36:

6^(2002) сравнимо с 36 по модулю 25, которое дает остаток 11 при делении на 25

То есть 4^(2002)+6^(2002) сравнимо с 16+11=27 по модулю 25, которое дает остаток 2 на 25.

Ответ: 2

Answer 2

Для нахождения остатка от деления суммы 4^{2002} + 6^{2002} на 25, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если p - простое число, то a^{p-1} ≡ 1 (mod p), где a не делится на p. В данном случае, 25 является простым числом.

1. Найдем остатки 4^{2002} и 6^{2002} при делении на 25:

Сначала найдем остаток 4^{2002} при делении на 25:

4^1 mod 25 = 4 4^2 mod 25 = 16 4^3 mod 25 = 64 ≡ 14 (mod 25) 4^4 mod 25 = (4^2)^2 mod 25 ≡ 16^2 mod 25 ≡ 256 mod 25 ≡ 6 (mod 25) 4^5 mod 25 = 4 * 4^4 mod 25 ≡ 4 * 6 mod 25 ≡ 24 (mod 25)

Поскольку 4^5 ≡ 24 (mod 25), мы можем заметить, что 4^2000 будет иметь остаток 1 при делении на 25 (4^2000 = (4^5)^400), так как 4^5 имеет остаток 24 при делении на 25.

Теперь найдем остаток 6^{2002} при делении на 25:

6^1 mod 25 = 6 6^2 mod 25 = 36 ≡ 11 (mod 25) 6^3 mod 25 = 6 * 6^2 mod 25 ≡ 6 * 11 mod 25 ≡ 16 (mod 25) 6^4 mod 25 = (6^2)^2 mod 25 ≡ 11^2 mod 25 ≡ 121 mod 25 ≡ 21 (mod 25) 6^5 mod 25 = 6 * 6^4 mod 25 ≡ 6 * 21 mod 25 ≡ 126 mod 25 ≡ 1 (mod 25)

Таким образом, 6^5 имеет остаток 1 при делении на 25, что означает, что 6^{2000} имеет остаток 1 при делении на 25.

2. Теперь найдем остаток суммы 4^{2002} + 6^{2002} при делении на 25:

4^{2002} + 6^{2002} ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 25)

Ответ: E) 2