Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х^2+ х+6 у=0

Answer 1

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно вычислить определенный интеграл от одной кривой до другой по оси x.

В данном случае, фигура ограничена двумя кривыми: у = -х^2 + х + 6 и у = 0. Таким образом, мы должны найти точки пересечения этих двух кривых.

Сначала найдем точки пересечения, где у = -х^2 + х + 6 пересекает у = 0:

-х^2 + х + 6 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = -1, b = 1 и c = 6.

x = (-(1) ± √(1^2 - 4 * (-1) * 6)) / 2 * (-1)

x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2

x = (-1 ± √25) / 2

x = (-1 ± 5) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x1 = 2 и x2 = -3.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, возьмем определенный интеграл от у = -х^2 + х + 6 до у = 0:

Площадь = ∫[x1, x2] (-х^2 + х + 6) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[-3, 2] (-х^2 + х + 6) dx

Площадь = [- (x^3 / 3) + (x^2 / 2) + 6x] |[-3, 2]

Площадь = [-(2^3 / 3) + (2^2 / 2) + 6 * 2] - [-( (-3)^3 / 3) + ((-3)^2 / 2) + 6 * (-3)]

Площадь = [-(8 / 3) + 2 + 12] - [-( -27 / 3) + (9 / 2) - 18]

Площадь = [-8 / 3 + 14] - [9 - 9/2 - 18]

Площадь = [-8 / 3 + 42/3] - [9/2 - 27/2]

Площадь = (42/3 - 8/3) - (-18/2)

Площадь = 34/3 + 9 = 34/3 + 27/3 = 61/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми у = -х^2 + х + 6 и у = 0, составляет 61/3 или приближенно 20.33 квадратных единицы.