Question

Интеграл от п/4 до п/2sin2xdx​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^\frac{\pi}{2} _\frac{\pi}{4} {sin2x} \, dx =\dfrac{cos2x}{2} |^\frac{\pi}{2} _\frac{\pi}{4}=-0,5-0=-0,5$

Answer 2

Для решения данного интеграла, нам потребуется использовать замену переменной. Пусть:

$u = \sin(2x)$

Тогда найдем производную от $u$ по $x$:

$\frac{du}{dx} = 2\cos(2x)$

Теперь найдем $dx$ через $du$:

$dx = \frac{du}{2\cos(2x)}$

Заменим пределы интегрирования:

Когда $x = \frac{\pi}{4}$, $u = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $u = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) = 0$.

Теперь заменим интеграл с учетом замены переменной:

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \int_{1}^{0} \frac{du}{2\cos(2x)}$

Так как знак пределов интегрирования поменялся, поменяем также и порядок пределов:

$\int_{0}^{1} \frac{du}{2\cos(2x)}$

Теперь подставим $u = 2x$:

$\int_{0}^{1} \frac{du}{2\cos(u)}$

Теперь проинтегрируем от $0$ до $1$:

$\int_{0}^{1} \frac{du}{2\cos(u)} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sec(u) \, du$

Интеграл от $\sec(u)$ можно найти, используя свойства интеграла:

$\int \sec(u) \, du = \ln|\sec(u) + \tan(u)| + C$

Таким образом:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sec(u) \, du = \frac{1}{2} \left( \ln|\sec(1) + \tan(1)| - \ln|\sec(0) + \tan(0)| \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln|\frac{1}{\cos(1)} + \tan(1)| - \ln|\frac{1}{\cos(0)} + \tan(0)| \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln|\frac{1}{\cos(1)} + \tan(1)| - \ln|1 + 0| \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln|\frac{1}{\cos(1)} + \tan(1)| \right)$

Таким образом, окончательный результат:

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \ln|\frac{1}{\cos(1)} + \tan(1)|$