Question

Найти производную функции а)8x^4-16+12б)4x^4-12x-4в)ln x•5^xг)e^x/cos x

Answer 1

Ответ:

а) 32x^3-16

б)16х^3-12

в)(5^x)/x + 5^x * ln5 * lnx

г) (e^x * cosx  +  sinx * e^x)/(cosx)^2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции по переменной x, применим правила дифференцирования для каждого слагаемого или множителя по отдельности.

а) $f(x) = 8x^4 - 16$

Чтобы найти производную этой функции, применим правило дифференцирования мономов: $\frac{d}{dx}(cx^n) = n \cdot cx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}(8x^4) = 4 \cdot 8x^{4-1} = 32x^3$

Так как константа (-16) дифференцируется в ноль, она исчезает при нахождении производной.

Таким образом, $f'(x) = 32x^3$.

б) $f(x) = 4x^4 - 12x - 4$

Найдем производные каждого слагаемого:

$\frac{d}{dx}(4x^4) = 4 \cdot 4x^{4-1} = 16x^3$

$\frac{d}{dx}(-12x) = -12$

Константа (-4) дифференцируется в ноль, как и в предыдущем случае.

Теперь сложим производные слагаемых:

$f'(x) = 16x^3 - 12$.

в) $f(x) = \ln(x) \cdot 5^x$

Для нахождения производной произведения функций, используем правило произведения:

$\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v'$,

где $u = \ln(x)$ и $v = 5^x$.

$u' = \frac{1}{x}$ (производная натурального логарифма)

$v' = 5^x \cdot \ln(5)$ (производная степенной функции)

Теперь вычислим производную:

$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot 5^x + \ln(x) \cdot 5^x \cdot \ln(5)$.

г) $f(x) = \frac{e^x}{\cos(x)}$

Для нахождения производной частного функций, используем правило частного:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$,

где $u = e^x$ и $v = \cos(x)$.

$u' = e^x$ (производная экспоненциальной функции)

$v' = -\sin(x)$ (производная косинуса)

Теперь вычислим производную:

$f'(x) = \frac{e^x \cdot \cos(x) - e^x \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)}$.

$f'(x) = \frac{e^x(\cos(x) + \sin(x))}{\cos^2(x)}$.

Вот производные для данных функций:

а) $f'(x) = 32x^3$

б) $f'(x) = 16x^3 - 12$