Question

Дано:f(x) = x^4/x^4+1. ( -∞;+∞) Найти:точки минимума и максимума

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения точек минимума и максимума функции f(x) = x^4 / (x^4 + 1) на интервале (-∞, +∞), следует выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции f'(x).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Определить тип каждой критической точки (минимум или максимум) с помощью второй производной.
4. Проверить значение функции в точках минимума и максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f(x) = x^4 / (x^4 + 1)

f'(x) = (d/dx) [x^4 / (x^4 + 1)]

Для нахождения производной функции вида u/v, применяем правило дифференцирования частного:

f'(x) = (u'v - uv') / v^2,

где u' - производная числителя, v' - производная знаменателя.

Таким образом:

u = x^4, v = (x^4 + 1)

u' = 4x^3, v' = d/dx (x^4 + 1) = 4x^3

Теперь вычислим производную:

f'(x) = (4x^3 * (x^4 + 1) - x^4 * 4x^3) / (x^4 + 1)^2 f'(x) = (4x^3 * x^4 + 4x^3 - 4x^7) / (x^4 + 1)^2 f'(x) = (4x^7 + 4x^3 - 4x^7) / (x^4 + 1)^2 f'(x) = 4x^3 / (x^4 + 1)^2

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

4x^3 / (x^4 + 1)^2 = 0

Так как дробь не может быть равна нулю, только если числитель равен нулю:

4x^3 = 0

x^3 = 0

x = 0

Шаг 3: Определим тип критической точки с помощью второй производной:

Для этого найдем вторую производную f''(x):

f''(x) = (d/dx) [4x^3 / (x^4 + 1)^2]

Для нахождения производной функции вида u/v^2, применяем правило дифференцирования частного:

f''(x) = (u''v^2 - 2u'v'v - u(v')^2) / v^4,

где u'' - производная второго порядка числителя, v' - производная первого порядка знаменателя.

Теперь вычислим вторую производную:

u = 4x^3, v = (x^4 + 1)

u' = 12x^2, v' = d/dx (x^4 + 1) = 4x^3

u'' = d/dx (12x^2) = 24x, v'' = d^2/dx^2 (x^4 + 1) = 12x^2

f''(x) = (24x*(x^4 + 1)^2 - 2(12x^2)(4x^3)(x^4 + 1) - 4x^3(12x^2)^2) / (x^4 + 1)^4 f''(x) = (24x(x^4 + 1)^2 - 2(12x^2)(4x^3)(x^4 + 1) - 4x^3(12x^2)^2) / (x^4 + 1)^4 f''(x) = (24x(x^4 + 1) - 2(12x^2)(4x^3) - 4x^3(12x^2)^2) / (x^4 + 1)^4 f''(x) = (24x(x^4 + 1) - 2(12x^2)(4x^3) - 4x^3(12x^2)^2) / (x^4 + 1)^4 f''(x) = (24x^5 + 24x - 96x^5 - 576x^5) / (x^4 + 1)^4 f''(x) = (-672x^5 + 24x) / (x^4 + 1)^4

Шаг 4: Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

Для этого подставим x = 0 в функцию f(x):

f(0) = 0^4 / (0^4 + 1) f(0) = 0 / 1 f(0) = 0

Таким образом, получаем единственную критическую точку x = 0, в которой функция достигает минимума, равного 0.

Заметим, что на интервале (-∞, +∞) функция f(x) не имеет вертикальных асимптот и делится на 1/x^4, когда x стремится к бесконечности, что приводит к тому, что функция приближается к нулю.

Вывод:

Точка минимума: (0, 0)