Question

Найдите наибольшее значение функции y=lnx-x^2+3на отрезке [1;2]

Answer 1

Ответ: 2.

Пошаговое объяснение:

$y'=\left(\ln x-x^2+3\right)'=\dfrac{1}{x}-2x=\dfrac{1-2x^2}{x}$

$y'=0;~~~1-2x^2=0~~~~\Longleftrightarrow~~~~ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Оба корни не принадлежат отрезку [1;2].

$y(1)=\ln 1-1^2+3=2\\ y(2)=\ln 2-2^2+3=\ln 2-1$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = ln(x) - x^2 + 3 на отрезке [1;2], нужно найти максимальное значение функции в данном интервале.

1. Найдем критические точки функции на отрезке [1;2]. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Функция y = ln(x) - x^2 + 3 y' = d/dx (ln(x) - x^2 + 3)

Для нахождения производной y', применим правило дифференцирования:

y' = 1/x - 2x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

1/x - 2x = 0

1/x = 2x

2x^2 = 1

x^2 = 1/2

x = ±√(1/2)

x ≈ ±0.7071

Так как отрезок [1;2] не включает точки x ≈ ±0.7071, эти значения не рассматриваются в данном случае.

2. Теперь оценим функцию в концах отрезка [1;2] и найдем значение в вершинах гиперболы.

Для x = 1:

y = ln(1) - 1^2 + 3 y = 0 - 1 + 3 y = 2

Для x = 2:

y = ln(2) - 2^2 + 3 y ≈ 0.6931 - 4 + 3 y ≈ -0.3069

Таким образом, на отрезке [1;2] наибольшее значение функции y = ln(x) - x^2 + 3 равно 2. Это значение достигается при x = 1.